Logarithm Trick – Evaluate (log₅49)(log₇125) Using Exponential Conversion

Ασκήσεις Λογαρίθμων με «Απολογαριθμοποίηση»

Υπολόγισε χωρίς αριθμομηχανή:

\[ (\log_5 49)(\log_7 125) \]

Η κλασική μέθοδος απαιτεί κανόνες λογαρίθμων και αλλαγή βάσης. Εδώ όμως ακολουθούμε μια διαφορετική προσέγγιση: μετατρέπουμε τους λογαρίθμους σε εκθετικές σχέσεις.

---

Βήμα-σκέψη

Θέτουμε: \[ x = (\log_5 49)(\log_7 125) \] και μετουσιώνουμε τους λογαρίθμους σε εκθετική μορφή.

📌 Σε αυτό το σημείο βγάζουμε τους λογαρίθμους από τη μέση (απολογαριθμοποιούμε) και δουλεύουμε πλέον καθαρά με δυνάμεις.

➤ Δες τη λύση βήμα–βήμα

Ορίζουμε: \[ \log_5 49 = a \quad\Rightarrow\quad 49 = 5^a \] \[ \log_7 125 = b \quad\Rightarrow\quad 125 = 7^b \] δηλαδή: \[ 49 = 7^2,\qquad 125 = 5^3 \] άρα: \[ a = 2,\quad b = 3 \] Τότε: \[ (\log_5 49)(\log_7 125) = ab = 2 \cdot 3 = \boxed{6} \]

Τελική απάντηση:

\[ \boxed{6} \]

Evaluating Logs via "De-Logarithmizing"

Evaluate without a calculator:

\[ (\log_5 49)(\log_7 125) \]

Instead of using the change-of-base formula, we use a cleaner exponential approach: convert the logarithms into exponents.

---

Key Step

We set: \[ x = (\log_5 49)(\log_7 125) \] and rewrite both logs in exponential form.

📌 At this point we de-logarithmize — we remove logs and work purely with powers.

➤ Show full solution

\[ \log_5 49 = a \Rightarrow 49 = 5^a,\qquad \log_7 125 = b \Rightarrow 125 = 7^b \] Since: \[ 49 = 7^2,\qquad 125 = 5^3 \] we obtain: \[ a = 2,\quad b = 3 \] Therefore: \[ (\log_5 49)(\log_7 125) = ab = \boxed{6} \]

Final answer:

\[ \boxed{6} \]