Remainder when dividing a polynomial by a quadratic

Υπόλοιπο πολυωνύμου όταν διαιρείται με το (x−a)(x−b)

Αν ένα πολυώνυμο \(f(x)\) διαιρείται με το τετραγωνικό \((x-a)(x-b)\), τότε το υπόλοιπο δεν είναι αριθμός αλλά γραμμική συνάρτηση της μορφής:

\[ R(x)=Ax+B \]

Η βασική σχέση που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το υπόλοιπο είναι:

\[ f(a)=Aa+B,\qquad f(b)=Ab+B \] και άρα: \[ \boxed{ A = \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \,,\qquad B = \frac{bf(a)-af(b)}{b-a} } \] οπότε το υπόλοιπο γίνεται: \[ \boxed{ R(x) = Ax+B = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}x + \frac{bf(a)-af(b)}{b-a} } \]

---

Mini παράδειγμα

Βρες το υπόλοιπο της διαίρεσης του \[ f(x)=x^3-2x+5 \] από το \((x-1)(x-3)\). Υπολογίζουμε: \[ f(1)=1-2+5=4,\qquad f(3)=27-6+5=26 \] Άρα: \[ A = \frac{f(1)-f(3)}{1-3}=\frac{4-26}{-2}=11 \] \[ B = f(1)-A\cdot1 = 4-11 = -7 \] Τελικό υπόλοιπο: \[ \boxed{R(x)=11x-7} \]

Remainder of a Polynomial Divided by (x−a)(x−b)

When a polynomial \(f(x)\) is divided by a quadratic \((x-a)(x-b)\), the remainder is not a constant but a linear expression:

\[ R(x)=Ax+B \] The key evaluation relations are: \[ f(a)=Aa+B,\qquad f(b)=Ab+B \] So: \[ \boxed{ A = \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \,,\qquad B = \frac{bf(a)-af(b)}{b-a} } \] and therefore the remainder becomes: \[ \boxed{ R(x)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}x + \frac{bf(a)-af(b)}{b-a} } \]

---

Mini Example

Find the remainder when \[ f(x)=x^3-2x+5 \] is divided by \((x-1)(x-3)\). \[ f(1)=4,\qquad f(3)=26 \] \[ A=\frac{4-26}{1-3}=11,\qquad B=4-11=-7 \] \[ \boxed{R(x)=11x-7} \]