🧮 Το Θεώρημα του Midy — Το Κρυμμένο Μυστικό των Περιοδικών Δεκαδικών

Η δεκαδική ανάπτυξη του

$$\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\ldots$$

κρύβει μια εκπληκτική συμμετρία.

Αν χωρίσουμε την περίοδο στη μέση και αθροίσουμε τα δύο τμήματα, το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός αποτελούμενος μόνο από 9άρια:

$$142 + 857 = 999$$

Κι όμως — δεν είναι τυχαίο.

---

🔹 Το Θεώρημα του Midy

Το Θεώρημα του Midy (1836) δηλώνει ότι:

Για κάθε κλάσμα της μορφής $\frac{1}{p}$, όπου το $p$ είναι πρώτος αριθμός,
και η περιοδική δεκαδική περίοδος έχει άρτιο μήκος,
αν χωρίσουμε την περίοδο σε δύο ίσα μέρη και τα αθροίσουμε, προκύπτει ένας αριθμός από διαδοχικά 9άρια.

---

🔹 Παραδείγματα

1/11

$$0.090909\ldots$$

Περίοδος: 09

$$0 + 9 = 9$$

1/13

$$0.076923076923\ldots$$

Περίοδος: 076923

$$076 + 923 = 999$$

1/17

$$0.0588235294117647\ldots$$

Περίοδος: 0588235294117647

$$05882352 + 94117647 = 99999999$$

1/19

$$0.052631578947368421\ldots$$

Περίοδος: 052631578947368421

$$052631578+947368421=999999999$$

---

🔹 Γιατί συμβαίνει αυτό;

Αν η περίοδος έχει μήκος $2k$, τότε τα δύο μισά της περιόδου αποτελούν αριθμούς $A$ και $B$ με την ιδιότητα:

$$A + B = 10^k - 1$$

Το $10^k - 1$ είναι ακριβώς ένας αριθμός από k φορές το ψηφίο 9.

Αυτή η συμμετρία προέρχεται από βαθιές ιδιότητες των δεκαδικών αναπτύξεων, της θεωρίας αριθμών και της αριθμητικής modulo.