My Beloved Digit 9 – Repeating Decimals, Fractions and Hidden Number Patterns

Ο αγαπημένος αριθμός 9, οι περιοδικοί δεκαδικοί και μερικές κρυμμένες «πρωτότυπες ιδέες»

Στο δεκαδικό μας σύστημα όλα γυρίζουν γύρω από το 10 — αλλά ένας άλλος «ήρωας στο παρασκήνιο» είναι το ψηφίο 9. Εμφανίζεται συνεχώς στις εκφράσεις επαναλαμβανόμενων δεκαδικών, στα κλάσματα του τύπου \(1/9, 1/99, 1/999\) και σε περίεργες αριθμητικές ταυτότητες.

Σε αυτό το άρθρο θα δούμε:

• γιατί το \(0{,}999\ldots = 1\),
• γιατί τόσα πολλά κλάσματα με παρονομαστή γεμάτο 9 δίνουν περιοδικά δεκαδικά,
• πώς να μετατρέπουμε κάθε περιοδικό δεκαδικό σε κλάσμα,
• μερικές «πεντανόστιμες» αριθμητικές πρωτότυπες ιδέες με το ψηφίο 9.

---

1. Το «σκανδαλώδες» \(0{,}999\ldots = 1\)

Η ισότητα

$$ 0{,}999\ldots = 1 $$

ξαφνιάζει πολλούς μαθητές (και ενήλικες!). Κι όμως, η εξήγηση είναι πολύ πιο απλή απ’ όσο φαίνεται.

1.1 Ένα καθαρά δεκαδικό επιχείρημα

Σκεφτείτε το σύνολο όλων των δεκαδικών αριθμών μεταξύ \(0{,}999\ldots\) και \(1\).

• Οποιοσδήποτε αριθμός μικρότερος του 1 έχει σε κάποιο δεκαδικό ψηφίο κάτι μικρότερο από 9.
• Στον αριθμό \(0{,}999\ldots\) όλα τα δεκαδικά ψηφία είναι 9.

Αν υπήρχε αριθμός \(x\) με

$$ 0{,}999\ldots < x < 1, $$

τότε σε κάποια δεκαδική θέση του \(x\) θα έπρεπε να εμφανιστεί ψηφίο μικρότερο από 9, άρα το \(x\) δεν θα μπορούσε να είναι μεγαλύτερο από \(0{,}999\ldots\). Αντίφαση.

Άρα δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός ανάμεσά τους και τελικά

$$ 0{,}999\ldots = 1. $$

1.2 Το επιχείρημα με τις γεωμετρικές σειρές

Γράφουμε:

$$ 0{,}999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \cdots $$

Αυτό είναι γεωμετρική σειρά με πρώτο όρο \(a = \frac{9}{10}\) και λόγο \(r = \frac{1}{10}\). Γνωρίζουμε ότι:

$$ a + ar + ar^2 + \cdots = \frac{a}{1-r}, \quad |r|<1 .="" p="">

Επομένως:

$$ 0{,}999\ldots = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1. $$

---

2. Μια «μαγική» πίνακα διαίρεσης με 9

Το ψηφίο 9 εμφανίζεται παντού όταν διαιρούμε το 1 με αριθμούς της μορφής \(9, 99, 999, 9999, \ldots\).

Κλάσμα	Δεκαδική μορφή
\(\displaystyle \frac{1}{9}\)	\(0{,}111\ldots\)
\(\displaystyle \frac{1}{99}\)	\(0{,}010101\ldots\)
\(\displaystyle \frac{1}{999}\)	\(0{,}001001001\ldots\)
\(\displaystyle \frac{1}{9999}\)	\(0{,}000100010001\ldots\)

Παρατηρούμε το μοτίβο:

• Στο \(\frac{1}{9}\) η περίοδος είναι το ψηφίο 1.
• Στο \(\frac{1}{99}\) η περίοδος είναι «01».
• Στο \(\frac{1}{999}\) η περίοδος είναι «001».

Γενικά:

$$ \frac{1}{\underbrace{99\ldots 9}_{k\ \text{ψηφία}}} = 0,\underbrace{00\ldots 01 00\ldots 01 \ldots}_{\text{κάθε περίοδος έχει μήκος }k}. $$

Πώς συνδέεται αυτό με το \(0{,}999\ldots = 1\);

Ξεκινάμε από:

$$ 1 = 0{,}999\ldots $$ $$ 1 = 9 \cdot 0{,}111\ldots $$

Άρα:

$$ \frac{1}{9} = 0{,}111\ldots $$

Αντίστοιχα:

$$ 1 = 99 \cdot 0{,}010101\ldots \Rightarrow \frac{1}{99}=0{,}010101\ldots $$

---

3. Πώς περνάμε από ένα περιοδικό δεκαδικό σε κλάσμα

Έστω ένα καθαρά περιοδικό δεκαδικό, π.χ.

$$ x = 0{,}434343\ldots $$

Η περίοδός του είναι «43», άρα έχει 2 ψηφία. Αν πολλαπλασιάσουμε με \(10^2 = 100\), η υποδιαστολή «μετακινείται» δύο θέσεις:

$$ 100x = 43{,}434343\ldots $$ $$ x = 0{,}434343\ldots $$

Αφαιρώντας:

$$ 100x - x = 43{,}434343\ldots - 0{,}434343\ldots = 43 $$ $$ 99x = 43 \Rightarrow x = \frac{43}{99}. $$

Αυτό δίνει τον γνωστό κανόνα:

• Γράφουμε τους αριθμούς της περιόδου σαν ακέραιο.
• Διαιρούμε με έναν αριθμό που έχει τόσα 9 όσα ψηφία έχει η περίοδος.

Για παράδειγμα:

• \(0{,}7\overline{3} = 0{,}7333\ldots = \dfrac{73}{99}\)
• \(0{,}\overline{527} = 0{,}527527\ldots = \dfrac{527}{999}\)

Μικρή άσκηση

Βρείτε κλάσμα για τα:

• \(0{,}\overline{81}\)
• \(0{,}\overline{09}\)
• \(0{,}\overline{123}\)

---

4. Μια εντυπωσιακή «ακολουθία» δεκαδικών

Ο αριθμός

$$ 0{,}012345679 $$

είναι διάσημος: περιέχει όλα τα ψηφία από 0 έως 9 εκτός από το 8. Αν τον πολλαπλασιάσετε με 9, θα δείτε:

$$ 0{,}012345679 \times 9 = 0{,}111111111. $$

Άρα:

$$ 0{,}012345679 = \frac{1}{9} \cdot 0{,}111111111 = \frac{1}{81}. $$

Παρόμοια «μαγικά» δεκαδικά υπάρχουν και με μεγαλύτερα μπλοκ ψηφίων· πίσω τους κρύβονται ταυτότητες του τύπου:

$$ 12345679 \times 9 = 111111111. $$

---

5. Ένα ακόμη διαμάντι: ο Midy και τα 9

Για ορισμένους πρώτους \(p\), το δεκαδικό ανάπτυγμα του \(\frac{1}{p}\) έχει περίοδο άρτιου μήκους. Τότε συμβαίνει κάτι εντυπωσιακό: αν χωρίσουμε την περίοδο στη μέση, τα δύο μισά συμπληρώνουν το 9.

Παράδειγμα με \(p=7\):

$$ \frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857} $$

Αν χωρίσουμε:

• 14 και 28 και 57

τότε:

$$ 1+8 = 9,\quad 4+5 = 9,\quad 2+7=9. $$

Παρόμοια φαινόμενα εμφανίζονται σε άλλους πρώτους (π.χ. 17) και συνδέονται με ένα αποτέλεσμα γνωστό ως θεώρημα του Midy.

---

🔚 Συμπέρασμα: Γιατί να αγαπήσουμε το 9;

• Το \(0{,}999\ldots = 1\) δείχνει πόσο «σφιχτά» γεμίζουν οι δεκαδικοί τη γραμμή των πραγματικών.
• Οι παρονομαστές γεμάτοι 9 (\(9, 99, 999,\ldots\)) δίνουν απλές, όμορφες περιοδικές δεκαδικές αναπτύξεις.
• Ο κανόνας «περίοδος πάνω, 9 κάτω» κάνει την μετατροπή περιοδικών δεκαδικών σε κλάσματα παιχνιδάκι.
• Ιδιαίτεροι αριθμοί, όπως το \(0{,}012345679\), αποκαλύπτουν απρόσμενα μοτίβα.

Το ψηφίο 9 εμφανίζεται σε τόσα πολλά σημεία, ώστε δικαιούται τον τίτλο του «αγαπημένου ψηφίου» των περιοδικών δεκαδικών. Αν το θυμάστε αυτό, οι ασκήσεις με δεκαδικά θα σας φανούν πολύ πιο φιλικές.

Mon cher chiffre 9: My Beloved Digit 9, Repeating Decimals and Some Hidden Number Gems

Our decimal system revolves around the base 10, but another “backstage hero” is the digit 9. It appears constantly in repeating decimals, in fractions like \(1/9, 1/99, 1/999\), and in curious number identities.

In this article we will see:

• why \(0.999\ldots = 1\),
• why so many fractions with a denominator full of 9s give repeating decimals,
• how to convert any repeating decimal into a fraction,
• and some tasty number-theoretic “nuggets” involving the digit 9.

---

1. The “scandalous” identity \(0.999\ldots = 1\)

The equality

$$ 0.999\ldots = 1 $$

surprises many students (and adults!). Yet the explanation is much simpler than it looks.

1.1 A purely decimal argument

Think about all decimal numbers between \(0.999\ldots\) and \(1\).

• Any number less than 1 must have some decimal digit strictly smaller than 9.
• In \(0.999\ldots\) all decimal digits are 9.

If there were a number \(x\) with

$$ 0.999\ldots < x < 1, $$

then at some decimal place \(x\) would have a digit smaller than 9, hence \(x\) could not be larger than \(0.999\ldots\). Contradiction.

Therefore there is no real number between them, and so:

$$ 0.999\ldots = 1. $$

1.2 The geometric series argument

We write:

$$ 0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \cdots $$

This is a geometric series with first term \(a = \frac{9}{10}\) and ratio \(r = \frac{1}{10}\). We know that:

$$ a + ar + ar^2 + \cdots = \frac{a}{1-r}, \quad |r|<1 .="" p="">

Hence:

$$ 0.999\ldots = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1. $$

---

2. A “magic” division table with 9

The digit 9 pops up everywhere when we divide 1 by numbers of the form \(9, 99, 999, 9999, \ldots\).

Fraction	Decimal form
\(\displaystyle \frac{1}{9}\)	\(0.111\ldots\)
\(\displaystyle \frac{1}{99}\)	\(0.010101\ldots\)
\(\displaystyle \frac{1}{999}\)	\(0.001001001\ldots\)
\(\displaystyle \frac{1}{9999}\)	\(0.000100010001\ldots\)

We see the pattern:

• For \(\frac{1}{9}\) the period is the digit 1.
• For \(\frac{1}{99}\) the period is “01”.
• For \(\frac{1}{999}\) the period is “001”.

In general:

$$ \frac{1}{\underbrace{99\ldots 9}_{k\ \text{digits}}} = 0.\underbrace{00\ldots 01 00\ldots 01 \ldots}_{\text{each period has length }k}. $$

How does this relate to \(0.999\ldots = 1\)?

We start from:

$$ 1 = 0.999\ldots $$ $$ 1 = 9 \cdot 0.111\ldots $$

Hence:

$$ \frac{1}{9} = 0.111\ldots $$

Similarly:

$$ 1 = 99 \cdot 0.010101\ldots \Rightarrow \frac{1}{99}=0.010101\ldots $$

---

3. Converting a repeating decimal into a fraction

Take a purely repeating decimal, for example:

$$ x = 0.434343\ldots $$

Its period is “43”, so it has 2 digits. Multiplying by \(10^2 = 100\) shifts the decimal point by two places:

$$ 100x = 43.434343\ldots $$ $$ x = 0.434343\ldots $$

Subtracting:

$$ 100x - x = 43.434343\ldots - 0.434343\ldots = 43 $$ $$ 99x = 43 \Rightarrow x = \frac{43}{99}. $$

This yields the standard rule:

• Write the digits of the period as an integer.
• Divide by a number with as many 9s as the length of the period.

For example:

• \(0.\overline{73} = 0.7373\ldots = \dfrac{73}{99}\)
• \(0.\overline{527} = 0.527527\ldots = \dfrac{527}{999}\)

Small exercise

Find a fraction for:

• \(0.\overline{81}\)
• \(0.\overline{09}\)
• \(0.\overline{123}\)

---

4. A striking sequence of decimals

The number

$$ 0.012345679 $$

is famous: it contains all digits from 0 to 9 except 8. If you multiply it by 9, you get:

$$ 0.012345679 \times 9 = 0.111111111. $$

Therefore:

$$ 0.012345679 = \frac{1}{9} \cdot 0.111111111 = \frac{1}{81}. $$

Similar “magic” decimals exist with longer digit blocks; behind them lie identities such as:

$$ 12345679 \times 9 = 111111111. $$

---

5. Another gem: Midy and the 9s

For some primes \(p\), the decimal expansion of \(\frac{1}{p}\) has a period of even length. Then something remarkable happens: if we cut the period in half, the two halves add up to 9 digitwise.

Example for \(p=7\):

$$ \frac{1}{7} = 0.\overline{142857} $$

Splitting the period:

• 14 and 28 and 57

we have:

$$ 1+8 = 9,\quad 4+5 = 9,\quad 2+7=9. $$

Similar phenomena appear for other primes (e.g. 17) and are related to a result known as Midy’s theorem.

---

🔚 Conclusion: Why should we love 9?

• \(0.999\ldots = 1\) shows how tightly decimals fill the real line.
• Denominators full of 9s (\(9, 99, 999,\ldots\)) yield simple, beautiful repeating decimals.
• The rule “period on top, 9s below” makes converting repeating decimals into fractions a game.
• Special numbers like \(0.012345679\) reveal unexpected patterns.

The digit 9 appears so often that it deserves to be called the “favourite digit” of repeating decimals. Once you remember this, exercises with decimals become much more friendly.