Etienne Bézout – From Bezout’s Identity to the General Theory of Algebraic Equations

Étienne Bézout (1730–1783): Από την Ταυτότητα του Bézout στη Γενική Θεωρία των Αλγεβρικών Εξισώσεων

👤 Ποιος ήταν ο Étienne Bézout;

Ο Γάλλος μαθηματικός Étienne Bézout γεννήθηκε στις 31 Μαρτίου 1730 και έζησε σε μια εποχή όπου η άλγεβρα και η ανάλυση διαμορφώνονταν σε σύγχρονη γλώσσα. Προερχόμενος από σχετικά ταπεινή οικογένεια, κατάφερε με το ταλέντο του να γίνει μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών και να συνδέσει το όνομά του με δύο έννοιες που διδάσκονται ακόμη: την Ταυτότητα του Bézout και τη Μέθοδο του Bézout.

Σήμερα, οι λίγοι μαθητές λυκείου που συνεχίζουν να ασχολούνται σοβαρά με αριθμητική και θεωρία αριθμών τον συναντούν σχεδόν πάντα μέσω μιας εξίσωσης:

«Υπάρχουν ακέραιοι \(x, y\) ώστε \(ax + by = \gcd(a,b)\).»

Όμως ο Bézout δεν ήταν μόνο «ο άνθρωπος της ταυτότητας». Δούλεψε πάνω στις αλγεβρικές εξισώσεις, στην εξάλειψη μεταβλητών, στα resultants και μας άφησε ένα σημαντικό βιβλίο: «Théorie générale des équations algébriques» (Γενική Θεωρία των Αλγεβρικών Εξισώσεων), που εκδόθηκε το 1779 και είναι σήμερα διαθέσιμο στο Gallica.

---

➊ Η Ταυτότητα του Bézout στην Αριθμητική

Για δύο ακέραιους αριθμούς \(a\) και \(b\), η Ταυτότητα του Bézout λέει ότι:

$$ \gcd(a,b) = ax + by $$

για κάποιους ακέραιους \(x\) και \(y\). Δηλαδή, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο αριθμών μπορεί πάντα να γραφτεί ως ακέραιο γραμμικό συνδυασμό τους.

🔹 Παράδειγμα

Έστω \(a = 30\) και \(b = 18\). Γνωρίζουμε ότι:

$$ \gcd(30,18) = 6. $$

Μπορούμε να βρούμε ακέραιους \(x,y\) έτσι ώστε:

$$ 30x + 18y = 6. $$

Μία λύση είναι \(x = 1\), \(y = -1\), αφού:

$$ 30\cdot 1 + 18\cdot (-1) = 30 - 18 = 12 \neq 6, $$

αλλά αν πολλαπλασιάσουμε το \(\gcd\) με \(\tfrac{1}{2}\), βρίσκουμε καλύτερη γραφή:

$$ 6 = 30\cdot (-1) + 18\cdot 2. $$

Άρα \(x=-1\), \(y=2\) είναι μία λύση της ταυτότητας του Bézout για το ζευγάρι (30,18).

Στην πράξη, τα \(x\) και \(y\) υπολογίζονται με τον εκτεταμένο αλγόριθμο του Ευκλείδη, που στηρίζεται σε διαδοχικές διαιρέσεις.

🔐 Εφαρμογές

• Απόδειξη ότι δύο αριθμοί είναι ασύμμετροι (coprime).
• Επίλυση γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων του τύπου \(ax+by=c\).
• Θεμέλιο για έννοιες της κρυπτογραφίας, όπως ο υπολογισμός αντίστροφου modulo \(n\).

---

➋ Η «Μέθοδος Bézout» στις Αλγεβρικές Εξισώσεις

Στον 18ο αιώνα, ένα από τα μεγάλα προβλήματα ήταν: Πώς λύνουμε ή τουλάχιστον πώς μελετάμε συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων;

Ο Bézout εισήγαγε τεχνικές εξάλειψης μεταβλητών και resultants, που επιτρέπουν να «συμπτύξουμε» ένα σύστημα εξισώσεων σε μία μόνο εξίσωση μεγαλύτερου βαθμού.

Η βασική ιδέα είναι η εξής:

• Ξεκινάμε με δύο πολυώνυμα σε δύο μεταβλητές.
• Συνδυάζοντάς τα κατάλληλα, εξαλείφουμε τη μία μεταβλητή.
• Παίρνουμε μια νέα εξίσωση που περιέχει μόνο την άλλη μεταβλητή.

Αυτή η διαδικασία είναι πρόδρομος της σύγχρονης θεωρίας των resultants και των οριζουσών (determinants) που εμφανίζονται στην άλγεβρα πινάκων.

---

➌ Το βιβλίο «Γενική Θεωρία των Αλγεβρικών Εξισώσεων»

Το κύριο έργο του Bézout, «Théorie générale des équations algébriques», εκδόθηκε το 1779. Σε αυτό:

• οργανώνει συστηματικά τη θεωρία των πολυωνυμικών εξισώσεων, πριν ακόμη υπάρξει η πλήρης γλώσσα της αφηρημένης άλγεβρας.
• αναπτύσσει μεθόδους για υπολογισμό ριζών και για την καταμέτρηση λύσεων (προάγγελος του γνωστού «θεωρήματος του Bézout» στη γεωμετρία).
• συνδέει την αλγεβρική σκέψη με την πρακτική διδασκαλία, καθώς ο Bézout έγραψε και δημοφιλή εγχειρίδια για μαθητές.

Σήμερα το βιβλίο είναι προσβάσιμο ψηφιακά (π.χ. μέσω Gallica) και αποτελεί πολύτιμη ματιά στο πώς έβλεπαν τις εξισώσεις οι μαθηματικοί του 18ου αιώνα.

---

➍ Γιατί αξίζει να τον θυμόμαστε σήμερα;

• Γιατί η ταυτότητα του Bézout είναι από τις πρώτες «σοβαρές» προτάσεις που δείχνουν τη δύναμη της θεωρίας αριθμών.
• Γιατί η μέθοδος εξάλειψης που ανέπτυξε είναι πρόγονος πολλών σύγχρονων τεχνικών στην άλγεβρα και στη γεωμετρία.
• Γιατί το έργο του συνδέει την «παλιά» αλγεβρική παράδοση με την αναδυόμενη αφηρημένη άλγεβρα του 19ου αιώνα.

Ο Étienne Bézout είναι ένας από εκείνους τους μαθηματικούς που, με σχετικά «ταπεινή» παρουσία, άφησαν εργαλεία που χρησιμοποιούμε καθημερινά, από τα σχολικά βιβλία μέχρι τους σύγχρονους αλγορίθμους.

Étienne Bézout (1730–1783): From Bézout’s Identity to the General Theory of Algebraic Equations

👤 Who Was Étienne Bézout?

The French mathematician Étienne Bézout was born on 31 March 1730 and lived at a time when algebra and analysis were being reshaped into a modern language. Coming from a relatively modest background, he managed through talent and hard work to become a member of the French Academy of Sciences and to attach his name to two ideas still taught today: Bézout’s identity and Bézout’s method.

Today, the few high-school students who still study arithmetic and number theory seriously usually meet him through a single equation:

“There exist integers \(x, y\) such that \(ax + by = \gcd(a,b)\).”

But Bézout was not only “the identity man”. He worked on algebraic equations, on elimination of variables, on resultants, and left us a major book: “Théorie générale des équations algébriques” (General Theory of Algebraic Equations), published in 1779, which can be consulted today via Gallica and other digital libraries.

---

➊ Bézout’s Identity in Arithmetic

For two integers \(a\) and \(b\), Bézout’s identity states that:

$$ \gcd(a,b) = ax + by $$

for some integers \(x\) and \(y\). In other words, the greatest common divisor of two integers can always be written as an integer linear combination of them.

🔹 Example

Let \(a = 30\) and \(b = 18\). We know that:

$$ \gcd(30,18) = 6. $$

We want integers \(x,y\) such that:

$$ 30x + 18y = 6. $$

One convenient solution is \(x=-1\), \(y=2\), since:

$$ 30\cdot(-1) + 18\cdot 2 = -30 + 36 = 6. $$

In practice, the integers \(x\) and \(y\) are computed via the extended Euclidean algorithm, which is based on successive divisions.

🔐 Applications

• Proving that two numbers are coprime (relatively prime).
• Solving linear Diophantine equations of the form \(ax+by=c\).
• Forming the basis for concepts in cryptography, such as computing inverses modulo \(n\).

---

➋ Bézout’s Method for Algebraic Equations

In the 18th century, one of the main questions was: How can we solve or at least study systems of algebraic equations?

Bézout introduced techniques of elimination of variables and resultants, which allow us to “compress” a system of equations into a single equation of higher degree.

The basic idea is:

• Start with two polynomials in two variables.
• Combine them suitably in order to eliminate one variable.
• Obtain a new equation involving only the remaining variable.

This process is a precursor of the modern theory of resultants and determinants, which appear in matrix algebra and algebraic geometry.

---

➌ The Book “General Theory of Algebraic Equations”

Bézout’s major work, “Théorie générale des équations algébriques”, was published in 1779. In this book he:

• Organises systematically the theory of polynomial equations, before the full language of abstract algebra existed.
• Develops methods for finding roots and for counting solutions (a precursor of what is now called “Bézout’s theorem” in geometry).
• Connects algebraic thinking with practical teaching, since Bézout also wrote popular textbooks for students.

Today the book can be read online (for instance via Gallica) and offers a fascinating glimpse into how 18th-century mathematicians viewed equations.

---

➍ Why Is He Still Important Today?

• Because Bézout’s identity is one of the first “serious” results that show the power of number theory.
• Because his elimination methods are ancestors of many modern techniques in algebra and geometry.
• Because his work connects the “classical” algebraic tradition with the emerging abstract algebra of the 19th century.

Étienne Bézout is one of those mathematicians who, with a relatively quiet historical presence, left behind tools that we still use daily — from school textbooks to modern algorithms.