Nested Rectangles with Integer Sides – A Combinatorial Geometry Problem

Αλυσίδες από Ορθογώνια με Ακέραιες Πλευρές

Σε ένα επίπεδο θεωρούμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Για δύο ορθογώνια A και B γράφουμε

A ⊆ B

αν το ορθογώνιο A μπορεί να τοποθετηθεί ολόκληρο μέσα στο ορθογώνιο B.

Παράδειγμα: Αν το ορθογώνιο A έχει πλευρές 2 × 1, το B πλευρές 2 × 2 και το C πλευρές 1 × 3, τότε μπορούμε να γράψουμε A ⊆ B και A ⊆ C. Ωστόσο, δεν μπορούμε να γράψουμε ούτε B ⊆ C ούτε C ⊆ B.

Όλα τα ορθογώνια που αναφέρονται παρακάτω έχουν ακέραια μήκη πλευρών που δεν υπερβαίνουν το 100.

(α) Πρώτο ερώτημα

Να αποδείξετε ότι, ανάμεσα σε 101 τέτοια ορθογώνια στο επίπεδο, υπάρχουν τρία ορθογώνια A, B, C ώστε

A ⊆ B ⊆ C.

(β) Δεύτερο ερώτημα

Να αποδείξετε ότι, ανάμεσα σε 2015 τέτοια ορθογώνια, υπάρχουν 41 ορθογώνια

A₁, A₂, …, A₄₁

τέτοια ώστε να ισχύει η αλυσίδα εγκιβωτισμού

A₁ ⊆ A₂ ⊆ ⋯ ⊆ A₄₁.

Chains of Rectangles with Integer Side Lengths

In the plane we consider axis-aligned rectangles. For two rectangles A and B we write

A ⊆ B

if rectangle A can be placed entirely inside rectangle B.

Example: If rectangle A has side lengths 2 × 1, rectangle B has side lengths 2 × 2, and rectangle C has side lengths 1 × 3, then we can write A ⊆ B and A ⊆ C. However, we cannot write B ⊆ C nor C ⊆ B.

All rectangles mentioned below have integer side lengths that do not exceed 100.

(a) First question

Prove that among any 101 such rectangles in the plane, there exist three rectangles A, B, C such that

A ⊆ B ⊆ C.

(b) Second question

Prove that among any 2015 such rectangles, there exist 41 rectangles

A₁, A₂, …, A₄₁

such that the following nested chain holds:

A₁ ⊆ A₂ ⊆ ⋯ ⊆ A₄₁.