Μέγιστες και ελάχιστες τιμές με ρίζες – Δύο όμορφα προβλήματα βελτιστοποίησης
Θα μελετήσουμε δύο προβλήματα που ζητούν μέγιστη ή ελάχιστη τιμή εκφράσεων με τετραγωνικές ρίζες.
(α) Μέγιστη τιμή με τρεις μεταβλητές
Έστω x₁, x₂, x₃ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με
x₁ + x₂ + x₃ = 1.
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της έκφρασης
\(\sqrt{1 - x_1^2} \;+\; \sqrt{4 - x_2^2} \;+\; \sqrt{9 - x_3^2}\).
Σημείωση: Μπορείτε να δοκιμάσετε διάφορες προσεγγίσεις, όπως ανισότητες (π.χ. Cauchy–Schwarz), γεωμετρική ερμηνεία ή χρήση παραγώγων υπό τον περιορισμό x₁ + x₂ + x₃ = 1.
(β) Ελάχιστη τιμή απόστασης σημείων σε επίπεδο
Έστω x πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης
\(\sqrt{(x-1)^2 + (x^2 - 2)^2} \;+\; \sqrt{(x-3)^2 + (x^2 - 4)^2}\),
καθώς και η τιμή του x για την οποία επιτυγχάνεται αυτό το ελάχιστο.
Μπορείς να σκεφτείς τη ρίζα κάθε όρου ως την απόσταση του σημείου με συντεταγμένες (x, x²) από δύο σταθερά σημεία στο επίπεδο, για παράδειγμα τα σημεία (1, 2) και (3, 4). Έτσι, η παράσταση παριστάνει το άθροισμα των αποστάσεων ενός κινούμενου σημείου πάνω στην παραβολή y = x² από δύο συγκεκριμένα σημεία του επιπέδου.
Το πρόβλημα ζητά να βρεις τη θέση στην παραβολή όπου αυτό το άθροισμα αποστάσεων γίνεται ελάχιστο (γεωμετρική ερμηνεία), ή αντίστοιχα την τιμή του x που ελαχιστοποιεί τη δοσμένη παράσταση (αναλυτική/αλγεβρική προσέγγιση).
Maxima and Minima with Square Roots – Two Optimization Puzzles
We look at two problems that ask for the maximum or minimum value of expressions involving square roots.
(a) Maximum value with three variables
Let x₁, x₂, x₃ be positive real numbers such that
x₁ + x₂ + x₃ = 1.
Find the maximum value of
\(\sqrt{1 - x_1^2} \;+\; \sqrt{4 - x_2^2} \;+\; \sqrt{9 - x_3^2}\).
You may approach this using inequalities (e.g. Cauchy–Schwarz), a geometric interpretation, or calculus under the linear constraint x₁ + x₂ + x₃ = 1.
(b) Minimum of a distance sum on the plane
Let x be a real number. Find the minimum value of
\(\sqrt{(x-1)^2 + (x^2 - 2)^2} \;+\; \sqrt{(x-3)^2 + (x^2 - 4)^2}\),
and determine the value of x at which this minimum is attained.
You can interpret each square root as the distance from the point (x, x²) on the parabola y = x² to a fixed point in the plane, for instance (1, 2) and (3, 4). Thus the expression represents the sum of distances from a moving point on the parabola to two fixed points.
The problem asks you to find the point on the parabola where this sum of distances is minimal (a geometric viewpoint), or equivalently the real number x that minimizes the given expression (an analytic/calculus-based viewpoint).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου