Probability the Williams Sisters Meet in a 64-Player Tournament

Meet the Williams Sisters – Ποια είναι η πιθανότητα να συναντηθούν;

Οι φίλοι του τένις χαίρονται όταν η Venus και η Serena Williams συναντιούνται σε ένα τουρνουά. Συνήθως αυτό εξαρτάται από seeding και φόρμα, αλλά ας μελετήσουμε ένα ιδανικό τουρνουά αποκλεισμού 64 παικτών, όπου:

• το bracket επιλέγεται εντελώς τυχαία,
• όλοι οι παίκτες είναι εξίσου πιθανό να κερδίσουν ή να χάσουν κάθε αγώνα,
• και μας ενδιαφέρει η πιθανότητα η Venus και η Serena να συναντηθούν σε κάποιον γύρο.

Ποια είναι η πιθανότητα;

➤ Λύση (πάτησε για εμφάνιση)

1. Ισοπιθανότητα ζευγαριού

Σε ένα εντελώς τυχαίο bracket 64 παικτών, κάθε παίκτης μπορεί να συναντήσει οποιονδήποτε άλλον, ανάλογα με το πώς εξελίσσονται οι νίκες και οι ήττες. Θεμελιώδες γεγονός: κάθε ζεύγος παικτών έχει την ίδια πιθανότητα να συναντηθεί στο τουρνουά.

Γιατί; Σκεφτείτε τη Serena. Σε οποιονδήποτε αγώνα παίξει, ο αντίπαλός της είναι ένας από τους υπόλοιπους 63 παίκτες — όλοι ισοπίθανοι. Επομένως η πιθανότητα να είναι η Venus αυτός ο αντίπαλος είναι

1 / 63.

2. Δεν χρειάζεται περίπλοκος υπολογισμός γύρων

Μπορεί να φαίνεται ότι πρέπει να εξετάσουμε κάθε γύρο ξεχωριστά (1/63, 1/31, 1/15 κ.λπ.), αλλά αυτό είναι περιττό. Η συμμετρία και η τυχαιότητα του bracket κάνουν όλες τις πιθανότητες να «συμπυκνώνονται» σε έναν απλό αριθμό: κάθε ζεύγος έχει ίση πιθανότητα να συναντηθεί.

3. Τελικό συμπέρασμα

Η πιθανότητα η Venus και η Serena Williams να παίξουν μεταξύ τους σε ένα τυχαίο τουρνουά 64 παικτών είναι:

1 / 63

Meet the Williams Sisters – What Is the Probability They Play Each Other?

Tennis fans love it when Venus and Serena Williams meet in a tournament. Instead of dealing with seeding rules and skill, let us examine an idealized 64-player elimination tournament in which:

• the bracket is chosen completely at random,
• every player is equally likely to win or lose any match,
• and we ask for the probability that Venus and Serena end up playing each other.

What is the probability?

➤ Solution (click to reveal)

1. Every pair is equally likely to meet

In a fully random 64-player bracket, any player can in principle meet any other depending on how matches unfold. Fundamental fact: every pair of players has the same probability of meeting.

Think from Serena’s perspective. In any match she plays, her opponent must be one of the other 63 players — all of them equally likely. Therefore the probability that this opponent is Venus is:

1 / 63

2. No need for complicated round-by-round calculations

Although one might try summing probabilities of meeting in round 1, round 2, quarterfinals, semifinals, etc., the symmetry of the random bracket makes this unnecessary. All possibilities collapse into the simple uniform pairing rule above.

3. Final result

The probability that Venus and Serena meet in a random 64-player tournament is:

1 / 63