Pythagorean Triples on a Sphere – Geometry, Number Theory and Spherical Right Triangles

Πυθαγόρειες τριάδες πάνω σε σφαίρα;

Τι είναι μια Πυθαγόρεια τριάδα

Μια Πυθαγόρεια τριάδα είναι μια τριάδα θετικών ακεραίων (a, b, c) που ικανοποιεί τη σχέση:

a² + b² = c².

Γεωμετρικά, τα τρία αυτά μήκη αποτελούν τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον όταν όλες οι πλευρές είναι ακέραιες, αφού τα περισσότερα ορθογώνια τρίγωνα έχουν πλευρές με ρίζες (όπως √2, √3 κ.λπ.). Οι αρχαίοι Πυθαγόρειοι μάλιστα μελετούσαν μόνο τρίγωνα με ρητές πλευρές.

Από μια τριάδα όπως (3, 4, 5) μπορούν να προκύψουν άπειρες άλλες με απλή ομοιότητα, π.χ. (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)...

Γι’ αυτό η βασική μελέτη περιορίζεται στις primitive (μειωμένες) τριάδες, όπου οι τρεις αριθμοί δεν έχουν κοινό παράγοντα μεγαλύτερο του 1.

Γεωμετρική κατασκευή μέσω του μοναδιαίου κύκλου

Υπάρχει μια κλασική, κομψή κατασκευή Πυθαγόρειων τριάδων χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο.

Παίρνουμε το σημείο P = (−1, 0) και ένα ρητό σημείο Q = (t, 0) στον άξονα x, με −1 < t < 1. Η ευθεία PQ τέμνει ξανά τον κύκλο στο σημείο R, και μετά από απλά βήματα γεωμετρίας προκύπτει ότι οι συντεταγμένες του R είναι ρητές:

R = (x, y) = ( (1 − t²)/(1 + t²), 2t/(1 + t²) ).

Από τη σχέση x² + y² = 1, αν θέσουμε x = a/c και y = b/c με ακέραιους a, b, c χωρίς κοινό παράγοντα, τότε:

a² + b² = c².

Κάθε ρητή τιμή του t δίνει μια Πυθαγόρεια τριάδα. Μάλιστα, αν το t = r/s με r και s πρώτους μεταξύ τους και διαφορετικής παραβολής (ένας άρτιος, ένας περιττός), η παραγόμενη τριάδα είναι primitive.

Περνώντας από το επίπεδο στη σφαίρα

Ένα φυσικό επόμενο ερώτημα είναι αν η έννοια της Πυθαγόρειας τριάδας μπορεί να επεκταθεί σε σφαιρική γεωμετρία. Τι σημαίνει «ορθογώνιο τρίγωνο» πάνω στη σφαίρα;

Στη σφαιρική γεωμετρία, χρησιμοποιούνται τρίγωνα που σχηματίζονται από μέγιστους κύκλους:

• Μέγιστος κύκλος: κύκλος της σφαίρας του οποίου το επίπεδο περνά από το κέντρο της.
• Πλευρά: τόξο τέτοιου κύκλου μεταξύ δύο σημείων.
• Σφαιρικό τρίγωνο: τρία σημεία ενωμένα με τρία τόξα μέγιστων κύκλων.

Θέτουμε τώρα την ακτίνα της σφαίρας ίση με 1 και εξετάζουμε σφαιρικά ορθογώνια τρίγωνα ABC με ορθή γωνία στο B. Οι πλευρές a, b, c είναι τα μήκη των τόξων (σε ακτίνια) και ρωτάμε:

Μπορεί ένα σφαιρικό ορθογώνιο τρίγωνο να έχει και τις τρεις πλευρές ρητές;

Η σφαιρική Πυθαγόρεια σχέση

Στη μοναδιαία σφαίρα, για σφαιρικό ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει:

cos c = cos a · cos b.

Το ερώτημα μετατρέπεται στο εάν υπάρχουν ρητές λύσεις (σε μήκη τόξων) αυτής της εξίσωσης. Η δυσκολία είναι μεγάλη: οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις σπάνια οδηγούν σε ρητούς αριθμούς, και δεν μπορούμε να «μεγεθύνουμε» ή να «σμικρύνουμε» τη σφαίρα όπως στο επίπεδο.

Σχετικές ιδέες και τρέχουσα κατάσταση

Γνωρίζουμε ότι στο υπερβολικό επίπεδο υπάρχουν άπειρες «υπερβολικές Πυθαγόρειες τριάδες», αποτέλεσμα εργασίας των Hartshorne & Van Luijk. Ωστόσο, για τη μοναδιαία σφαίρα το ζήτημα παραμένει ανοιχτό.

Δεν είναι γνωστό αν υπάρχει έστω και ένα σφαιρικό ορθογώνιο τρίγωνο με ρητές πλευρές, ούτε αν μπορεί να υπάρξει πλήρης ταξινόμηση τέτοιων σχημάτων.

Το πρόβλημα παραμένει μια ενδιαφέρουσα σύνδεση ανάμεσα στη σφαιρική τριγωνομετρία και τη θεωρία αριθμών.

Pythagorean Triples on a Sphere?

What is a Pythagorean Triple?

A Pythagorean triple is a triple of positive integers (a, b, c) satisfying

a² + b² = c².

These are exactly the side lengths of right triangles with integer sides. Many common right triangles involve irrational lengths such as √2 or √3, which fascinated the ancient Pythagoreans.

From a triple like (3, 4, 5) one can generate infinitely many others by scaling: (6, 8, 10), (9, 12, 15), etc. Thus the main task is to understand the primitive triples—those with no common integer factor.

Geometric Construction via the Unit Circle

A classical argument constructs infinitely many Pythagorean triples using the unit circle.

Select P = (−1, 0) and a rational point Q = (t, 0) with −1 < t < 1. The line PQ meets the circle again at R, whose coordinates turn out to be rational:

R = (x, y) = ( (1 − t²)/(1 + t²), 2t/(1 + t²) ).

Since R lies on the circle, x² + y² = 1. Writing x = a/c and y = b/c with integers a, b, c relatively prime, we obtain

a² + b² = c².

From the Plane to the Sphere

This raises a natural question: can an analogue of Pythagorean triples exist on curved surfaces, such as the sphere? To investigate this, consider a sphere of radius 1 and study spherical triangles formed by great circles.

• A great circle is a circle whose plane passes through the center of the sphere.
• Segments are arcs of great circles.
• A spherical triangle is formed by three such arcs.

Let a spherical right triangle ABC have a right angle at B, with side lengths a, b, c (arc lengths measured in radians). We ask:

Can a spherical right triangle on the unit sphere have all three side lengths rational?

The Spherical Pythagorean Formula

On the unit sphere, a spherical right triangle satisfies the analogue

cos c = cos a · cos b.

This leads to the difficult problem of determining whether this equation can have rational solutions in a, b, c (or whether cos a, cos b, cos c can all be rational).

Related Ideas and Current Status

In the hyperbolic plane, Hartshorne and Van Luijk proved the existence of infinitely many “hyperbolic Pythagorean triples”, using the Poincaré disc model and number-theoretic methods.

For the unit sphere, however, it remains unknown whether there exists even a single spherical right triangle with rational side lengths. The question is still open and lies at the intersection of spherical trigonometry and number theory.

Any progress would offer new insight into the arithmetic structure of spherical geometry.