Writing Polynomials in Terms of Invariants and Coinvariants

Γράφοντας πολυώνυμα με όρους invariants και coinvariants

Συμμετρικά και αντισυμμετρικά πολυώνυμα σε δύο μεταβλητές

Ας ξεκινήσουμε με ένα κλασικό και όμορφο γεγονός για πολυώνυμα σε δύο μεταβλητές x και y (με συντελεστές, π.χ., στο ℝ ή στο ℂ):

Κάθε πολυώνυμο f(x, y) μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πολυωνύμου.

Θυμόμαστε ότι:

• Ένα πολυώνυμο f(x,y) είναι συμμετρικό αν f(x,y) = f(y,x).
• Είναι αντισυμμετρικό αν f(y,x) = −f(x,y).

Η ύπαρξη της διάσπασης είναι εύκολη: ορίζουμε

s(x,y) = (f(x,y) + f(y,x))/2,
a(x,y) = (f(x,y) − f(y,x))/2.

Τότε f = s + a, όπου s είναι συμμετρικό και a αντισυμμετρικό. Για τη μοναδικότητα, αν f = s₁ + a₁ = s₂ + a₂ με συμμετρικά sᵢ και αντισυμμετρικά aᵢ, τότε

(s₁ − s₂) = −(a₁ − a₂).

Το αριστερό μέλος είναι συμμετρικό, το δεξί αντισυμμετρικό, άρα και τα δύο πρέπει να είναι ταυτοτικά μηδέν. Έτσι s₁ = s₂ και a₁ = a₂.

Ο ρόλος του (x − y): από αντισυμμετρία σε συμμετρία

Ένα βασικό παρατήρημα: κάθε αντισυμμετρικό πολυώνυμο σε δύο μεταβλητές είναι διαιρετό από το (x − y). Αν a(x,y) είναι αντισυμμετρικό, τότε θέτοντας x = y παίρνουμε a(x,x) = −a(x,x), άρα a(x,x) = 0. Επομένως (x − y) είναι παράγοντας.

Αν γράψουμε a(x,y) = (x − y)·g(x,y), τότε το g είναι συμμετρικό: η σχέση a(y,x) = −a(x,y) οδηγεί στο g(y,x) = g(x,y). Έτσι κάθε αντισυμμετρικό πολυώνυμο είναι (x − y) × (συμμετρικό).

Άρα μπορούμε να ξαναδιατυπώσουμε το αρχικό γεγονός ως:

Κάθε f(x,y) γράφεται μοναδικά ως S(x,y) + (x − y)·T(x,y), όπου S, T είναι συμμετρικά πολυώνυμα.

Δηλαδή, τα πολυώνυμα 1 και (x − y) παίζουν ρόλο «βάσης», και οι συντελεστές τους είναι συμμετρικά πολυώνυμα.

Προς περισσότερες μεταβλητές: invariants και coinvariants

Τώρα θέλουμε να γενικεύσουμε την ιδέα σε περισσότερες μεταβλητές. Φυσικά, υπάρχουν και άλλοι τύποι συμμετρίας, και το σωστό εργαλείο είναι η δράση της συμμετρικής ομάδας Sₙ στο δαχτυλίδι ℂ[x₁, …, xₙ], με την αυτονόητη δράση: κάθε μετάθεση αναδιατάσσει τις μεταβλητές.

• Ένα invariant για αυτή τη δράση είναι ένα πολυώνυμο που μένει σταθερό υπό όλες τις μεταθέσεις – δηλαδή ένα συμμετρικό πολυώνυμο.
• Τα συμμετρικά πολυώνυμα σχηματίζουν έναν υποδακτύλιο ℂ[x₁,…,xₙ]^{Sₙ}, τον δακτύλιο των invariants.

Ορίζουμε τον δακτύλιο των coinvariants ως

Rₙ = ℂ[x₁,…,xₙ] / I,

όπου I είναι το ιδεώδες που παράγεται από όλα τα συμμετρικά πολυώνυμα χωρίς σταθερό όρο (π.χ. τα power sums p₁, p₂, … χωρίς τη σταθερά).

Για n = 2, με μεταβλητές x, y, ο δακτύλιος των coinvariants είναι

R₂ = ℂ[x, y] / (σ₁, σ₂),

όπου σ₁ = x + y και σ₂ = xy είναι τα στοιχειώδη συμμετρικά. Κάθε μονοώνυμο xᵃyᵇ μηδενίζεται modulo I εκτός από τα πολύ απλά, και στο τέλος μένει ότι ο R₂ έχει βάση (ως ℂ-διανυσματικός χώρος) τα 1 και (x − y).

Αυτό ταιριάζει με ό,τι είδαμε πριν: κάθε πολυώνυμο γράφεται ως συμμετρικό + (x − y)·συμμετρικό.

Η γενική εικόνα: κανονική αναπαράσταση και Chevalley

Γενικά ισχύει ένα όμορφο αποτέλεσμα:

Ο δακτύλιος των coinvariants Rₙ είναι ισομορφικός με την κανονική αναπαράσταση της Sₙ.

Δηλαδή, ως αναπαράσταση της Sₙ, ο Rₙ είναι αντίγραφο του ℂ[Sₙ], όπου η ομάδα δρα με αριστερή μεταφορά (left composition). Η διάσταση του Rₙ είναι n!.

Ένα βαθύτερο θεώρημα, το θεώρημα του Chevalley, λέει ότι για ομάδες που παράγονται από ανακλάσεις (όπως η Sₙ), ο δακτύλιος πολυωνύμων είναι ένας ελεύθερος (free) module πάνω στον δακτύλιο των invariants. Συγκεκριμένα, για Sₙ έχουμε μια αποσύνθεση τύπου:

ℂ[x₁,…,xₙ] ≅ ℂ[x₁,…,xₙ]^{Sₙ} ⊗ ℂ[Sₙ]

ως modules πάνω στο δακτύλιο των συμμετρικών πολυωνύμων. Αυτό σημαίνει ότι:

• Μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο από n! πολυώνυμα που σχηματίζουν βάση του Rₙ.
• Κάθε πολυώνυμο γράφεται μοναδικά ως γραμμικός συνδυασμός αυτών, με συντελεστές συμμετρικά πολυώνυμα.

Στην περίπτωση n = 2, τα δύο πολυώνυμα είναι 1 και (x − y). Για n = 3 χρειαζόμαστε 6 πολυώνυμα (γιατί 3! = 6). Ποια είναι μια «ωραία» επιλογή;

Η γενίκευση: η Vandermonde και οι μερικές της παράγωγοι

Το κλειδί είναι η Vandermonde:

Δ(x₁,…,xₙ) = ∏_{1 ≤ i < j ≤ n} (xᵢ − xⱼ).

Ρητά:

• Για n = 2: Δ(x,y) = x − y.
• Για n = 3: Δ(x,y,z) = (x − y)(x − z)(y − z).

Το Δ είναι αντισυμμετρικό πολυώνυμο μέγιστου βαθμού στο ring των coinvariants. Μπορεί κανείς να δείξει ότι στην ανώτερη βαθμίδα (highest degree piece) ο χώρος είναι μονοδιάστατος και παράγεται από τη Δ. Η δράση της Sₙ σε αυτό το σημείο δίνει την εναλλασσόμενη (sign) αναπαράσταση.

Το εκπληκτικό είναι ότι οι μερικές παράγωγοι της Δ (σε όλες τις μεταβλητές) παράγουν ολόκληρο τον δακτύλιο των coinvariants. Πιο συγκεκριμένα, επιλέγοντας κατάλληλες μερικές παραγώγους

∂^{α₁+⋯+αₙ}Δ / (∂x₁^{α₁}⋯∂xₙ^{αₙ})

με τους εκθέτες αᵢ σε κατάλληλο σύνολο (που κωδικοποιείται από τους Carlitz codes), παίρνουμε ακριβώς n! γραμμικά ανεξάρτητα πολυώνυμα. Αυτά σχηματίζουν βάση για τον δακτύλιο των coinvariants.

Η περίπτωση τριών μεταβλητών

Για n = 3, έχουμε Δ(x,y,z) = (x − y)(x − z)(y − z). Μπορούμε να πάρουμε:

• το ίδιο το Δ,
• μερικές από τις πρώτης και δεύτερης τάξης παραγώγους του ως προς x, y, z,

και να διαλέξουμε έξι πολυώνυμα που είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Αυτά τα έξι πολυώνυμα παίζουν τον ρόλο της βάσης των coinvariants, όπως τα 1 και (x − y) στην περίπτωση δύο μεταβλητών.

Τότε:

Κάθε πολυώνυμο σε x, y, z μπορεί να γραφεί μοναδικά ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των 6 πολυωνύμων, με συντελεστές συμμετρικά πολυώνυμα.

Harmonics και ορθογωνιότητα

Μια πιο τεχνική, αλλά όμορφη προσέγγιση, κάνει χρήση ενός εσωτερικού γινομένου στα πολυώνυμα:

⟨f, g⟩ = (f(∂/∂x₁,…,∂/∂xₙ)·g(x₁,…,xₙ))_{σταθερός όρος}.

Υπό αυτό το εσωτερικό γινόμενο, τα μονοώνυμα σχηματίζουν ορθογώνια βάση και το ιδεώδες I είναι ορθογώνιο προς έναν υποχώρο που λέγεται χώρος των harmonics. Αυτός είναι ισομορφικός με τον δακτύλιο των coinvariants. Η Δ και οι μερικές της παράγωγοι ανήκουν σε αυτόν τον χώρο και μπορούν να επιλεγούν ώστε να τον παράγουν.

Συμπέρασμα

Η απλή διάσπαση ενός πολυωνύμου δύο μεταβλητών σε συμμετρικό + αντισυμμετρικό κομμάτι είναι το πρώτο παράδειγμα μιας πολύ πιο γενικής θεωρίας. Για Sₙ, ο δακτύλιος των coinvariants έχει διάσταση n! και μπορεί να παρασταθεί με έναν εξαιρετικά κομψό τρόπο: μέσω της Vandermonde και των παραγώγων της.

Με αυτό το εργαλείο, κάθε πολυώνυμο σε n μεταβλητές γράφεται μοναδικά ως συνδυασμός «βασικών» πολυωνύμων (παράγωγοι της Δ), με συντελεστές συμμετρικά πολυώνυμα – μια όμορφη σύζευξη άλγεβρας, αναπαραστάσεων και συνδυαστικής.

Writing Polynomials in Terms of Invariants and Coinvariants

Symmetric and Antisymmetric Polynomials in Two Variables

Let us start with a classical fact about polynomials in two variables x and y (over a field of characteristic ≠ 2):

Every polynomial f(x, y) can be written uniquely as the sum of a symmetric and an antisymmetric polynomial.

Recall that:

• f(x,y) is symmetric if f(x,y) = f(y,x).
• f(x,y) is antisymmetric if f(y,x) = −f(x,y).

To prove existence, define

s(x,y) = (f(x,y) + f(y,x))/2,
a(x,y) = (f(x,y) − f(y,x))/2.

Then f = s + a with s symmetric and a antisymmetric. For uniqueness, if f = s₁ + a₁ = s₂ + a₂ with sᵢ symmetric and aᵢ antisymmetric, we have

(s₁ − s₂) = −(a₁ − a₂).

The left-hand side is symmetric, the right-hand side antisymmetric, so both must be identically zero. Thus s₁ = s₂ and a₁ = a₂.

The Role of (x − y): From Antisymmetry to Symmetry

Every antisymmetric polynomial in two variables is divisible by (x − y). If a(x,y) is antisymmetric, then setting x = y gives a(x,x) = −a(x,x), hence a(x,x) = 0, so (x − y) is a factor.

Writing a(x,y) = (x − y)·g(x,y), one checks that g is symmetric. Therefore, any antisymmetric polynomial is of the form (x − y) × (symmetric).

We can restate our decomposition as:

Every f(x,y) can be written uniquely as S(x,y) + (x − y)·T(x,y), where S, T are symmetric polynomials.

In other words, the polynomials 1 and (x − y) form a kind of “basis”, and their coefficients are symmetric polynomials.

More Variables: Invariants and Coinvariants

To generalize, we let the symmetric group Sₙ act on ℂ[x₁,…,xₙ] by permuting the variables. An invariant under this action is precisely a symmetric polynomial, and the invariants form the subring ℂ[x₁,…,xₙ]^{Sₙ}.

The ring of coinvariants is defined as

Rₙ = ℂ[x₁,…,xₙ] / I,

where I is the ideal generated by all symmetric polynomials with zero constant term (for instance, the power sums p₁, p₂, … without their constant parts).

In the case n = 2, with variables x and y, we can take I to be generated by the elementary symmetric functions σ₁ = x + y and σ₂ = xy, and then

R₂ = ℂ[x,y] / (σ₁, σ₂).

One checks that every monomial is zero modulo I except for the classes of 1 and (x − y). So {1, x − y} is a ℂ-basis of R₂.

Equivalently, R₂ decomposes as the direct sum of the trivial and sign representations of S₂, and is isomorphic to the regular representation ℂ[S₂].

Coinvariants and Chevalley’s Theorem

More generally, one can show:

The coinvariant ring Rₙ is isomorphic (as an Sₙ-representation) to the regular representation ℂ[Sₙ].

Hence dim Rₙ = n!.

Chevalley’s theorem gives a deeper structural statement for finite reflection groups G (such as Sₙ). It says that ℂ[x₁,…,xₙ] is a finitely generated free module over the invariant ring ℂ[x₁,…,xₙ]^G, and the coinvariants appear naturally in a tensor product decomposition. For Sₙ, we can write informally:

ℂ[x₁,…,xₙ] ≅ ℂ[x₁,…,xₙ]^{Sₙ} ⊗ Rₙ

as modules over the invariant ring. This suggests that:

• There should be an explicit ℂ-basis of Rₙ of size n!,
• and every polynomial can be expressed uniquely as a linear combination of those basis elements with symmetric coefficients.

In the case n = 2, the basis is {1, x − y}. For n = 3 we need 6 polynomials playing the role of “1 and x − y”.

The Vandermonde Determinant and Its Derivatives

The key object is the Vandermonde determinant:

Δ(x₁,…,xₙ) = ∏_{1 ≤ i < j ≤ n} (xᵢ − xⱼ).

Explicitly:

• For n = 2: Δ(x,y) = x − y.
• For n = 3: Δ(x,y,z) = (x − y)(x − z)(y − z).

Δ is an antisymmetric polynomial of maximal degree in the coinvariant ring. From Hilbert series considerations, one can show that the top-degree component of Rₙ is one-dimensional and spanned by Δ, affording the sign representation.

The remarkable fact is that Δ and its partial derivatives span the entire coinvariant ring. Consider all partial derivatives

∂^{α₁+⋯+αₙ}Δ / (∂x₁^{α₁}⋯∂xₙ^{αₙ})

for various multi-indices α = (α₁,…,αₙ). With a suitable choice of such α (encoded by Carlitz codes with 0 ≤ αᵢ < i), one obtains exactly n! linearly independent polynomials, which form a ℂ-basis of the coinvariant ring Rₙ.

The Case of Three Variables

For n = 3, we have Δ(x,y,z) = (x − y)(x − z)(y − z). By taking Δ together with carefully chosen first and second order partial derivatives with respect to x, y, z, we can select six polynomials that are linearly independent and span R₃.

These six polynomials play for three variables the role that {1, x − y} plays in the two-variable case: they form a basis of coinvariants, and every polynomial in x, y, z can be written uniquely as a linear combination of them with symmetric coefficients.

Harmonics and Orthogonality

Another, more analytic viewpoint uses an inner product on ℂ[x₁,…,xₙ]:

⟨f, g⟩ = (f(∂/∂x₁,…,∂/∂xₙ) · g(x₁,…,xₙ))_{constant term}.

With respect to this inner product, the monomials form an orthogonal basis. The ideal I generated by positive-degree invariants has an orthogonal complement: the space of harmonic polynomials, consisting of those killed by the differential operators corresponding to the power-sum symmetric functions.

This harmonic space is isomorphic to the coinvariant ring Rₙ, and one can show that Δ and its partial derivatives lie inside it. Choosing the appropriate partial derivatives of Δ gives a basis of harmonics and hence of the coinvariants.

Summary

The simple decomposition of a two-variable polynomial into a symmetric plus an antisymmetric part is the first glimpse of a much richer structure. For the symmetric group Sₙ, the coinvariant ring has dimension n! and can be described explicitly using the Vandermonde determinant and its derivatives.

Consequently, every polynomial in n variables can be expressed uniquely as a linear combination of certain derivatives of Δ, with symmetric polynomials as coefficients—a beautiful meeting point of algebra, invariant theory, and combinatorics.