Ramanujan’s Surprising Formula Linking an Infinite Series and a Continued Fraction

 

Ramanujan & η μυστηριώδης σταθερά \( \sqrt{\dfrac{\pi e}{2}} \)

Όταν ένα άπειρο άθροισμα «συναντά» ένα άπειρο συνεχιζόμενο κλάσμα

Ο Srinivasa Ramanujan είχε μια μοναδική ικανότητα να εντοπίζει κρυφές συνδέσεις ανάμεσα σε φαινομενικά άσχετες μαθηματικές εκφράσεις. Ένα από τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα είναι η σχέση ανάμεσα σε:

• ένα άπειρο άθροισμα με γινόμενα περιττών αριθμών στον παρονομαστή
• και ένα άπειρο συνεχές κλάσμα

Άθροισμα: \[ S = 1 + \frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \cdots \] Συνεχές κλάσμα: \[ C = \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\ddots}}}} \]

Με κάποιον τρόπο, αυτές οι δύο «περίεργες» ποσότητες συνδέονται με μια και μόνο σταθερά:

\[ S + C = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}. \]

Ο Ramanujan έδειξε ότι τόσο το \(S\) όσο και το \(C\) μπορούν να εκφραστούν με τη βοήθεια της συνάρτησης σφάλματος και της συμπληρωματικής συνάρτησης σφάλματος.

🔺 Κουτί Θεωρίας — erf & erfc

Η συνάρτηση σφάλματος ορίζεται ως \[ \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt, \] ενώ η συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος είναι \[ \operatorname{erfc}(x)=1-\operatorname{erf}(x). \] Χρησιμοποιούνται σε πιθανοθεωρία, Γκαουσιανές κατανομές και σε πολλά ολοκληρώματα που δεν εκφράζονται με απλές στοιχειώδεις συναρτήσεις.

Πώς μπαίνει η erf στην ιστορία;

Ο Ramanujan (και αργότερα άλλοι μαθηματικοί) έδειξαν ότι:

\[ S = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\;\operatorname{erf}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\qquad C = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\;\operatorname{erfc}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right). \]

Εφόσον για κάθε \(x\) ισχύει \(\operatorname{erf}(x) + \operatorname{erfc}(x) = 1\), παίρνουμε αμέσως:

\[ S + C = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\Bigl( \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + \operatorname{erfc}\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \Bigr) = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\cdot 1 = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}. \]

Γιατί θεωρείται «μυστηριώδης» σχέση;

• Τα δύο αρχικά αντικείμενα (άθροισμα και συνεχές κλάσμα) φαίνονται άσχετα.
• Η σταθερά \( \sqrt{\pi e / 2} \) συνδέει δύο θεμελιώδεις αριθμούς της ανάλυσης: την \( \pi \) (γεωμετρία) και το \( e \) (εκθετική ανάπτυξη).
• Η «γέφυρα» που τα ενώνει είναι μια ειδική συνάρτηση, η erf, η οποία εμφανίζεται στην πιθανοθεωρία και στη φυσική.

Η συγκεκριμένη ταυτότητα είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο ο Ramanujan έβλεπε τα μαθηματικά: όχι ως ξεχωριστά κομμάτια, αλλά ως ένα ενιαίο πλέγμα από κρυφές αρμονίες.

Ramanujan & the mysterious constant \( \sqrt{\dfrac{\pi e}{2}} \)

When an infinite series meets an infinite continued fraction

Srinivasa Ramanujan had a remarkable talent for discovering hidden connections between apparently unrelated formulas. One of his most striking examples links:

• an infinite series with products of odd integers in the denominator, and
• an infinite continued fraction.

Series: \[ S = 1 + \frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \cdots \] Continued fraction: \[ C = \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+\ddots}}}} \]

Somehow these two strange quantities are tied together by a single constant:

\[ S + C = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}. \]

Ramanujan showed that both \(S\) and \(C\) can be expressed using the error function and its complementary version.

🔺 Theory Box — erf & erfc

The error function is defined by \[ \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt, \] and the complementary error function by \[ \operatorname{erfc}(x)=1-\operatorname{erf}(x). \] These special functions appear in probability theory, Gaussian integrals and many differential equations in physics.

How does erf enter the picture?

Ramanujan (and later authors) obtained the identities

\[ S = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\;\operatorname{erf}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\qquad C = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\;\operatorname{erfc}\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right). \]

Since for every \(x\) we have \(\operatorname{erf}(x) + \operatorname{erfc}(x) = 1\), it follows immediately that

\[ S + C = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}\Bigl( \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + \operatorname{erfc}\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \Bigr) = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}. \]

Why is this identity called “mysterious”?

• The original objects (series and continued fraction) look unrelated.
• The constant \( \sqrt{\pi e / 2} \) links two fundamental numbers of analysis: \( \pi \) (geometry) and \( e \) (exponential growth).
• The bridge between them is a special function, \(\operatorname{erf}\), best known from probability theory and physics.

This identity is a beautiful example of how Ramanujan viewed mathematics: not as separate islands of formulas, but as a single web of hidden harmonies.