Non-Euclidean Geometry — Circle Inversion in the Poincaré Disc

Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία — Αντιστροφή Κύκλου & Δίσκος του Poincaré

Η Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία ανοίγει δρόμους σε κόσμους όπου τα γνωστά αξιώματα του Ευκλείδη παύουν να ισχύουν. Στην Υπερβολική Γεωμετρία — όπως στο μοντέλο Δίσκου και Ημιεπιπέδου του Poincaré — οι «ευθείες» γίνονται τόξα κύκλων κάθετα στα σύνορα του χώρου, οι αποστάσεις μετρούνται διαφορετικά, αλλά οι γωνίες παραμένουν ίδιες.

Ένας βασικός μηχανισμός για να λειτουργήσει αυτό το μοντέλο είναι η αντιστροφή κύκλου (Circle Inversion). Στον Ευκλείδη καθρεφτίζουμε πάνω σε γραμμή· εδώ καθρεφτίζουμε πάνω σε κύκλο. Η διαδικασία αυτή δημιουργεί **υπερβολικούς «καθρέφτες»**, διατηρώντας γωνίες και συμμετρίες.

Με την αντιστροφή κύκλου μπορούμε να:
• κατασκευάσουμε υπερβολικό μέσο σημείο
• ορίσουμε κάθετες & διχοτόμους σε γεωδαισιακές
• δημιουργήσουμε υπερβολικά μωσαϊκά & συμμετρίες
• αναπαράγουμε ανακλάσεις όπως στην Ευκλείδεια Γεωμετρία — αλλά σε καμπύλο χώρο

Στην πραγματικότητα, η circle inversion λειτουργεί ως η υπερβολική έκδοση του καθρέφτη. Χωρίς αυτήν, πολλά εργαλεία — από συμμετρίες μέχρι tilings — δεν θα μπορούσαν να χτιστούν μέσα στον Δίσκο του Poincaré.

Πηγή & πλήρης ανάλυση:
https://www.malinc.se/noneuclidean/en/circleinversion.php

Non-Euclidean Geometry — Circle Inversion & The Poincaré Disc

Non-Euclidean Geometry leads us into spaces where Euclid’s postulates no longer apply. In hyperbolic geometry — particularly in the Poincaré disc and half-plane model — straight lines appear as circle arcs orthogonal to the boundary. Distances warp, but angles remain unchanged.

A key mechanism enabling this geometry is Circle Inversion. Just as reflections in straight lines preserve distances in Euclidean geometry, reflections in circles act as the natural hyperbolic mirror. This tool allows us to define midpoints, construct perpendiculars, bisectors, and generate infinite hyperbolic tilings.

Circle Inversion enables:
• hyperbolic midpoint construction
• perpendicular & bisector tools
• reflection across geodesics
• infinite hyperbolic tessellations & symmetry groups

Circle inversion becomes the **hyperbolic analogue of reflection in a line**, making geometry consistent inside curved space.

Source & full article:
https://www.malinc.se/noneuclidean/en/circleinversion.php