Rational Equation with Three Poles: Prove There Are Two Roots

Τρεις ρητές συναρτήσεις, δύο ρίζες: ένα όμορφο πρόβλημα ενδιάμεσης τιμής

Έστω τρεις πραγματικοί αριθμοί a, b, c με

a < b < c.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

\(\dfrac{1}{x-a} + \dfrac{1}{x-b} + \dfrac{1}{x-c} = 0\)

έχει:

• μία λύση x στο διάστημα (a, b), και
• μία δεύτερη λύση x στο διάστημα (b, c).

Μπορείτε να προσπαθήσετε να το δείξετε με περισσότερους από έναν τρόπους, για παράδειγμα:

• με άλγεβρα (με κατάλληλη μετατροπή της εξίσωσης σε πολυωνυμική μορφή),
• με γραφήματα (σχεδιάζοντας τη συνάρτηση και μελετώντας τη συμπεριφορά της κοντά στις κάθετες ασύμπτωτες),
• με λογισμό, χρησιμοποιώντας:
  • τα όρια της συνάρτησης γύρω από τα σημεία x = a, x = b, x = c,
  • τη μονοτονία σε κάθε διάστημα ανάμεσα στις ασύμπτωτες,
  • και το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής για να εξασφαλίσετε την ύπαρξη των δύο ριζών.

Το πρόβλημα είναι ένα ωραίο παράδειγμα για το πώς μια φαινομενικά «τεχνική» ρητή συνάρτηση κρύβει μέσα της μία καθαρή ιδέα: ότι ανάμεσα σε τρεις κάθετες ασύμπτωτες, η γραφική παράσταση αναγκαστικά θα τέμνει τον άξονα x σε δύο διαφορετικά σημεία.

Three Rational Terms, Two Roots: A Neat Intermediate Value Problem

Let a, b, c be real numbers such that

a < b < c.

Prove that the equation

\(\dfrac{1}{x-a} + \dfrac{1}{x-b} + \dfrac{1}{x-c} = 0\)

has:

• one solution x in the interval (a, b), and
• a second solution x in the interval (b, c).

You are encouraged to tackle this in more than one way, for example:

• Algebraically, by rewriting the equation in polynomial form and analyzing its roots,
• Graphically, by sketching the function and examining its behaviour near the three vertical asymptotes,
• Using calculus, by:
  • studying the limits of the function as x approaches a, b and c,
  • analyzing its monotonicity on each interval between the asymptotes,
  • and applying the Intermediate Value Theorem to guarantee the existence of the two roots.

This problem nicely illustrates how a seemingly technical rational function encodes a very clean idea: between three vertical asymptotes, the graph is forced to cross the x-axis in two distinct places.