Second Derivative of Parametric Equations — Quick Guide + Examples

📘 Δεύτερη Παράγωγος Παραμετρικής Εξίσωσης

1️⃣ Πρώτη παράγωγος

Αν έχουμε παραμετρικές εξισώσεις $$x=f(t), \quad y=g(t)$$ τότε η πρώτη παράγωγος είναι: $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

🔹 Παράδειγμα 1

$$x=t+\cos t, \quad y=\sin t$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{1-\sin t}$$ 

2️⃣ Δεύτερη παράγωγος

$$\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$ 

🔹 Παράδειγμα 2

$$x=t+\cos t,\quad y=\sin t$$ Τότε: $$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{1-\sin t}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-1}{(1-\sin t)^3}$$

SUMMARY BOX
✓ $dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)$
✓ $d^2y/dx^2 = (d/dt(dy/dx))/(dx/dt)$

📘 Second Derivative of Parametric Equations

1️⃣ First derivative

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$

🔹 Example 1

$$x=t+\cos t,\quad y=\sin t \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{1-\sin t}$$

2️⃣ Second derivative

$$\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\bigg/\frac{dx}{dt}$$

🔹 Example 2

Final: $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-1}{(1-\sin t)^3}$$

SUMMARY BOX
✓ First: $(dy/dx)=(dy/dt)/(dx/dt)$
✓ Second: $(d/dt(dy/dx))/(dx/dt)$
✓ Result: $-1/(1-\sin t)^3$