First Cosine Law through Geometry – Projection Method & Colored Squares Diagram

📐 Πρώτος Νόμος του Συνημίτονου – Αναλυτική Απόδειξη με Προβολές

Θεωρούμε τρίγωνο ABC με πλευρές:

• a = BC απέναντι από τη γωνία A
• b = AC απέναντι από τη γωνία B
• c = AB απέναντι από τη γωνία C

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:

c² = a² + b² − 2ab cos C

1. Ιδέα της απόδειξης (Νόμος Προβολής)

Θα «προβάλουμε» την πλευρά b πάνω στην πλευρά a. Για να το πετύχουμε, φέρνουμε από το σημείο C την κάθετη στην πλευρά AB.

Έστω ότι το ίχνος της κάθετης είναι το σημείο D, ώστε:
CD ⟂ AB.

Τότε τα τρίγωνα ADC και BDC είναι ορθογώνια και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το συνημίτονο και το Πυθαγόρειο θεώρημα.

2. Προβολή της πλευράς b πάνω στην πλευρά c

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ADC έχουμε:

cos C = (γειτονική πλευρά) / (υποτείνουσα) = AD / b

Άρα:

AD = b · cos C

Επίσης, η CD είναι ύψος, οπότε:

CD² = b² − AD² = b² − (b cos C)² = b² − b² cos²C.

3. Έκφραση της πλευράς a μέσω των AD, BD, CD

Η πλευρά a = BC είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου BDC, άρα:

a² = BD² + CD².

Από τη γεωμετρία του τριγώνου πάνω στην πλευρά AB έχουμε:

AB = c = AD + DB ⇒ DB = c − AD = c − b cos C.

Άρα:

BD² = (c − b cos C)² = c² − 2bc cos C + b² cos²C.

Θυμόμαστε ότι:

CD² = b² − b² cos²C.

Οπότε:

a² = BD² + CD² = [c² − 2bc cos C + b² cos²C] + [b² − b² cos²C].

Τα b² cos²C απλοποιούνται:

a² = c² − 2bc cos C + b².

Τελικά:

a² = b² + c² − 2bc cos A

(αν αλλάξουμε ονόματα στις πλευρές, παίρνουμε τις αντίστοιχες μορφές: c² = a² + b² − 2ab cos C, κ.ο.κ.)

4. Τι μας λέει ο Νόμος του Συνημίτονου

• Γενικεύει το Πυθαγόρειο θεώρημα για οποιοδήποτε τρίγωνο.
• Όταν C = 90°, cos C = 0 και παίρνουμε απλά c² = a² + b².
• Για οξείες και αμβλείες γωνίες, ο όρος −2ab cos C διορθώνει τη σχέση των πλευρών.

📐 First Cosine Law – Detailed Projection Proof

Consider triangle ABC with sides:

• a = BC opposite angle A
• b = AC opposite angle B
• c = AB opposite angle C

We want to show:

c² = a² + b² − 2ab cos C

1. Idea of the Projection Method

Drop a perpendicular from C to side AB and call the foot of the perpendicular D. Thus CD ⟂ AB. Triangles ADC and BDC are right triangles, so we can use cosine and Pythagoras.

2. Projecting b onto side c

In right triangle ADC:

cos C = AD / b ⇒ AD = b · cos C.

Also:

CD² = b² − AD² = b² − (b cos C)² = b² − b² cos²C.

3. Expressing a in terms of c, b and cos C

In right triangle BDC:

a² = BD² + CD².

Along AB:

AB = c = AD + DB ⇒ BD = c − AD = c − b cos C.

So:

BD² = (c − b cos C)² = c² − 2bc cos C + b² cos²C.

We already have:

CD² = b² − b² cos²C.

Therefore:

a² = BD² + CD² = [c² − 2bc cos C + b² cos²C] + [b² − b² cos²C] = c² − 2bc cos C + b².

Rewriting symmetrically, we get:

a² = b² + c² − 2bc cos A

and, by cyclic permutation of the roles of a, b, c and A, B, C, we obtain all forms of the Cosine Law:
c² = a² + b² − 2ab cos C, etc.

4. Interpretation

• For C = 90°, cos C = 0 and the formula reduces to Pythagoras.
• For acute or obtuse angles, the term −2ab cos C adjusts the relation between the three sides.
• The Cosine Law therefore generalises the Pythagorean theorem to every triangle.