Solving the Inequality 1/(x+5)³ ≥ 1/(x+5)

Λύση της ανισότητας 1/(x+5)³ ≥ 1/(x+5)

Να λυθεί η ανισότητα:

\( \dfrac{1}{(x+5)^3} \ge \dfrac{1}{x+5} \)

1. Πεδίο ορισμού

Οι παρονομαστές δεν πρέπει να μηδενίζονται:

x + 5 ≠ 0 ⟹ x ≠ −5.

Άρα, πεδίο ορισμού:

x ∈ ℝ \ {−5}.

2. Γιατί δεν πολλαπλασιάζω με (x+5)³

Αν πολλαπλασιάσω και τα δύο μέλη με (x+5)³, έχω πρόβλημα, γιατί:

• για x < −5, το (x+5)³ < 0,
• για x > −5, το (x+5)³ > 0.

Άρα δεν ξέρω αν πρέπει να αλλάξω ή όχι το σύμβολο της ανισότητας – η διαδικασία γίνεται μπερδεμένη.

3. Πολλαπλασιάζω με θετική παράσταση

Παρατηρώ ότι:

(x+5)⁴ > 0 για κάθε x ≠ −5.

Άρα μπορώ να πολλαπλασιάσω και τα δύο μέλη της ανισότητας με (x+5)⁴, χωρίς να αλλάξει το σύμβολο της ανισότητας.

Έχουμε λοιπόν:

\( \dfrac{1}{(x+5)^3} \ge \dfrac{1}{x+5})\ ⟹  \dfrac{1}{(x+5)^3} \cdot (x+5)^4 \ge \dfrac{1}{x+5} \cdot (x+5)^4 \).

Υπολογίζουμε:

• Αριστερά: \( \dfrac{1}{(x+5)^3} \cdot (x+5)^4 = x+5 \)
• Δεξιά: \( \dfrac{1}{x+5} \cdot (x+5)^4 = (x+5)^3 \)

Άρα η ανισότητα γίνεται:

x + 5 ≥ (x+5)³.

4. Μεταφορά στο ένα μέλος και παραγοντοποίηση

Φέρνουμε όλα στο ένα μέλος:

x + 5 − (x+5)³ ≥ 0.

Παίρνουμε κοινό παράγοντα το (x+5):

x + 5 − (x+5)³ = (x+5) [1 − (x+5)²].

Και συνεχίζουμε την παραγοντοποίηση:

1 − (x+5)² = [1 − (x+5)] · [1 + (x+5)].

Άρα:

x + 5 − (x+5)³ = (x+5) · (1 − (x+5)) · (1 + (x+5)).

Απλοποιούμε τους παράγοντες:

• 1 − (x+5) = −x − 4
• 1 + (x+5) = x + 6

Επομένως:

x + 5 − (x+5)³ = (x+5)(−x−4)(x+6) = −(x+5)(x+4)(x+6).

Η ανισότητα

x + 5 − (x+5)³ ≥ 0

γίνεται:

−(x+5)(x+4)(x+6) ≥ 0 ⟺ (x+5)(x+4)(x+6) ≤ 0.

Μην ξεχνάμε πάντα: x ≠ −5.

5. Πίνακας πρόσημου

Λύνουμε τώρα:

(x+5)(x+4)(x+6) ≤ 0,   x ≠ −5.

Ρίζες του γινομένου:

x = −6, x = −5, x = −4.

Φτιάχνουμε διαστήματα:

• (−∞, −6)
• (−6, −5)
• (−5, −4)
• (−4, +∞)

Ελέγχουμε πρόσημο σε κάθε διάστημα:

• Για x = −7: (−2)(−3)(−1) < 0
• Για x = −5,5: (−0,5)(−1,5)(0,5) > 0
• Για x = −4,5: (0,5)(−0,5)(1,5) < 0
• Για x = 0: (5)(4)(6) > 0

Θέλουμε το γινόμενο ≤ 0, άρα οι κατάλληλες περιοχές είναι:

• (−∞, −6] (αρνητικό στο εσωτερικό, 0 στο −6)
• (−5, −4] (αρνητικό στο εσωτερικό, 0 στο −4)

Προσέχουμε ότι το x = −5 αποκλείεται από το πεδίο ορισμού.

6. Τελική απάντηση

Οι λύσεις της ανισότητας

\( \dfrac{1}{(x+5)^3} \ge \dfrac{1}{x+5} \)

είναι:

x ∈ (−∞, −6] ∪ (−5, −4].

Solving the Inequality 1/(x+5)³ ≥ 1/(x+5)

We want to solve the inequality

\( \dfrac{1}{(x+5)^3} \ge \dfrac{1}{x+5} \)

1. Domain

The denominators must be non-zero, so

x + 5 ≠ 0 ⟹ x ≠ −5.

2. Why we don’t multiply by (x+5)³

If we multiply both sides by (x+5)³, the sign of the inequality may change depending on x:

• for x < −5, (x+5)³ < 0,
• for x > −5, (x+5)³ > 0.

So we would have to treat the two regions separately. Instead, we choose a factor that is always positive.

3. Multiplying by a positive expression

Notice that

(x+5)⁴  > 0 for all x ≠ −5.

Therefore, we can multiply both sides by (x+5)⁴ without changing the inequality sign:

\( \dfrac{1}{(x+5)^3} \cdot (x+5)^4 \ge \dfrac{1}{x+5} \cdot (x+5)^4 \).

Simplifying:

• Left-hand side: \( \dfrac{1}{(x+5)^3} \cdot (x+5)^4 = x+5 \)
• Right-hand side: \( \dfrac{1}{x+5} \cdot (x+5)^4 = (x+5)^3 \)

So the inequality becomes

x + 5 ≥ (x+5)³.

4. Bringing terms together and factoring

We rewrite

x + 5 − (x+5)³ ≥ 0.

Factor out (x+5):

x + 5 − (x+5)³ = (x+5) [1 − (x+5)²].

Further factor 1 − (x+5)² as

1 − (x+5)² = [1 − (x+5)] · [1 + (x+5)].

Thus,

x + 5 − (x+5)³ = (x+5)(1 − (x+5))(1 + (x+5)).

We simplify the linear factors:

• 1 − (x+5) = −x − 4,
• 1 + (x+5) = x + 6.

So

x + 5 − (x+5)³ = (x+5)(−x−4)(x+6) = −(x+5)(x+4)(x+6).

Our inequality x + 5 − (x+5)³ ≥ 0 becomes

−(x+5)(x+4)(x+6) ≥ 0 ⟺ (x+5)(x+4)(x+6) ≤ 0,

with the domain restriction x ≠ −5.

5. Sign analysis

We solve

(x+5)(x+4)(x+6) ≤ 0,   x ≠ −5.

The roots are x = −6, x = −5, x = −4. We consider the intervals:

• (−∞, −6)
• (−6, −5)
• (−5, −4)
• (−4, +∞)

Checking the sign on each interval, we find that the product is ≤ 0 on

• (−∞, −6] and
• (−5, −4].

Note that x = −5 is excluded from the domain.

6. Final answer

The solution set of the inequality

\( \dfrac{1}{(x+5)^3} \ge \dfrac{1}{x+5} \)

is

x ∈ (−∞, −6] ∪ (−5, −4].