The Sum and Product Puzzle – Logic Riddle with Unique Solution

Το Παράδοξο του Αθροίσματος και του Γινομένου

Έστω δύο ακέραιοι αριθμοί \(x,y\) με:

• \(x > y > 1\)
• \(x + y \le 100\)

Η κ. Άθροισμα γνωρίζει μόνο το \(x+y\). Ο κ. Γινόμενος γνωρίζει μόνο το \(xy\). Και οι δύο γνωρίζουν ότι ο άλλος έχει αυτό το είδος πληροφορίας.

Διάλογος

1. κ. Γινόμενος: «Δεν μπορώ να βρω τα \(x\) και \(y\).»
2. κ. Άθροισμα: «Το ήξερα ότι δεν θα μπορούσες.»
3. κ. Γινόμενος: «Τώρα όμως ξέρω τα \(x\) και \(y\).»
4. κ. Άθροισμα: «Κι εγώ τώρα τα ξέρω.»

Ερώτηση: Ποιο είναι το ζεύγος \((x,y)\);

➤ Δες τη λύση

Από (1): Ο κ. Γινόμενο ΔΕΝ μπορεί να βρει μοναδικά το \((x,y)\), άρα το γινόμενο \(xy\) πρέπει να έχει πολλούς τρόπους παραγοντοποίησης με \(>1\).

Από (2): Ο κ. Άθροισμα το γνώριζε από πριν. Άρα το άθροισμα \(s=x+y\) πρέπει να είναι τέτοιο ώστε ΟΛΕΣ οι πιθανές παραγοντοποιήσεις του γινομένου να μην δίνουν μοναδικό ζεύγος.

Από (3): Μετά τη δήλωση του κ. Άθροισμα, το γινόμενο ξαφνικά οδηγεί σε μοναδικό ζεύγος. Αυτό συμβαίνει όταν οι εναπομείναντες υποψήφιοι έχουν μόνο μία λύση!

Από (4): Τώρα και ο κ. Άθροισμα ξέρει — άρα μόνο ένα ζευγάρι ταιριάζει στο νέο φιλτραρισμένο σύνολο.

Τελικό συμπέρασμα: \[ (x,y) = (8,\, 9) \]

The Sum and Product Puzzle

Let two positive integers \(x,y\) satisfy:

• \(x > y > 1\)
• \(x + y \le 100\)

Mr. Sum knows only \(x+y\).
Mr. Product knows only \(xy\).
Both know the other’s type of information.

1. Mr. Product: “I cannot determine \(x,y\).”
2. Mr. Sum: “I already knew that.”
3. Mr. Product: “Then I know them now.”
4. Mr. Sum: “So do I now.”

Question: What is the pair \((x,y)\)?

➤ Show the solution

(1) implies the product has multiple factorizations. (2) means every factorization consistent with the sum also leads to ambiguity. (3) means after eliminating sums that give unique pairs, only one product remains. (4) means the sum now also leads to a unique remaining pair.

Final answer: \[ (x,y) = (8,\, 9) \]