Three-Way Election Puzzle – Does the Runoff System Favor Alison?

Three-Way Election – Είναι η Bonnie σωστή;

Οι Alison, Bonnie και Clyde είναι υποψήφιοι για πρόεδρος τάξης και καταλήγουν σε τριπλή ισοπαλία. Για να σπάσει η ισοπαλία ζητούνται οι δεύτερες επιλογές των μαθητών — και εκεί εμφανίζεται ξανά τριπλή ισοπαλία. Ο αριθμός των ψηφοφόρων είναι περιττός, άρα μπορούν να γίνουν μονομαχίες δύο προσώπων.

Η Alison προτείνει το εξής σύστημα:

• 1ος γύρος: Bonnie vs Clyde
• 2ος γύρος: ο νικητής αντιμετωπίζει την Alison

Η Bonnie παραπονιέται ότι αυτό είναι άδικο, επειδή δήθεν δίνει στην Alison καλύτερη ευκαιρία να κερδίσει από ό,τι στις άλλες δύο. Αλήθεια είναι αυτό;

➤ Λύση (πάτησε για εμφάνιση)

1. Όταν υπάρχει τριπλή ισοπαλία σε ΟΛΑ, δεν υπάρχει φαβορί

Η απόλυτη ισοπαλία στις πρώτες και δεύτερες επιλογές σημαίνει ότι κανείς από τους τρεις δεν εμφανίζει πλεονέκτημα σε μονομαχία. Μπορεί να κατασκευαστεί εύκολα ένα σύνολο προτιμήσεων όπου:

C νικάει B, B νικάει A, και A νικάει C.

Αυτό λέγεται κύκλος Condorcet. Σε τέτοιες καταστάσεις δεν υπάρχει «ισχυρός» υποψήφιος.

2. Το σύστημα που προτείνει η Alison δεν της χαρίζει πλεονέκτημα

Στον πρώτο γύρο, το ζευγάρι (Bonnie, Clyde) μπορεί να κερδηθεί από τον οποιονδήποτε. Στον δεύτερο γύρο, ο νικητής αντιμετωπίζει την Alison — αλλά και εδώ κανένα ζευγάρι δεν έχει εκ των προτέρων μαθηματικό πλεονέκτημα.

Το ότι η Alison «πηγαίνει κατευθείαν τελικό» δεν αυξάνει την πιθανότητα νίκης της, γιατί σε Condorcet κύκλο όλοι οι υποψήφιοι είναι ισοδύναμοι.

3. Συμπέρασμα

Η Bonnie έχει άδικο: η διαδικασία δεν δίνει στην Alison καλύτερη πιθανότητα νίκης. Το σύστημα δεν είναι άδικο — απλώς δεν υπάρχει αντικειμενικό φαβορί.

Three-Way Election – Is Bonnie Right?

Alison, Bonnie, and Clyde run for class president and end up in a three-way tie. They request the students’ second choices — and again, the result is a three-way tie. The number of voters is odd, so pairwise comparisons are possible.

Alison proposes the following runoff system:

• Round 1: Bonnie vs. Clyde
• Round 2: The winner faces Alison

Bonnie complains that this is unfair because it allegedly gives Alison a better chance to win than either of the other two candidates. Is Bonnie correct?

➤ Solution (click to reveal)

1. A three-way tie in everything means no favorite exists

A complete tie in first and second choices implies that none of the three candidates has a natural head-to-head advantage. One can easily construct a preference cycle in which:

C beats B, B beats A, and A beats C.

This is a classic Condorcet cycle. When such cycles occur, there is no meaningful “strongest” candidate.

2. Alison gains no advantage from the proposed structure

In Round 1, either Bonnie or Clyde could win — there is no statistical bias for either outcome. In Round 2, the matchup against Alison is equally unpredictable. Being placed directly in the final does not increase her chances, because Condorcet cycles eliminate structural advantages.

3. Conclusion

Bonnie is not correct: Alison does not gain an unfair advantage. The proposed system does not favor anyone — the election has no natural favorite.