Titius–Bode Law – Mathematical Pattern of Planetary Distances

Ο κανόνας Titius–Bode: Μαθηματική πρόβλεψη αποστάσεων πλανητών

1. Ξεκινώντας από μια ακολουθία

Οι αριθμοί: $$0,\ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ 96,\ 192,\ 384,\ldots = a_n$$ δημιουργούν άπειρη αριθμητική ακολουθία. Αν προσθέσουμε 4 σε κάθε όρο, παίρνουμε νέα ακολουθία: $$b_n = a_n + 4 = 4,\ 7,\ 10,\ 16,\ 28,\ 52,\ 100,\ 196,\ 388,\ldots$$ Διαιρώντας κάθε όρο δια 10: $$c_n = \frac{b_n}{10} = 0.4,\ 0.7,\ 1.0,\ 1.6,\ 2.8,\ 5.2,\ 10.0,\ 19.6,\ 38.8,\ldots$$

2. Σύνδεση με το Ηλιακό Σύστημα

Οι $c_n$ προσεγγίζουν τις αποστάσεις πλανητών από τον Ήλιο σε αστρονομικές μονάδες. Αυτός είναι ο **κανόνας Titius–Bode**, διατυπωμένος τον 18ο αιώνα. Ο γενικός τύπος: $$d = 0.4 + 0.3\cdot 2^n,\quad n=0,1,2,4,8,16,32,64,128$$ Οι τιμές ταιριάζουν εντυπωσιακά με τις πραγματικές πλανητικές αποστάσεις — ακόμη και την ύπαρξη της ζώνης αστεροειδών ανάμεσα Άρη–Δία.

ΣΥΝΟΨΗ
✓ Η ακολουθία $0,3,6,12,\ldots$ οδηγεί σε πλανητικές αποστάσεις.
✓ Φόρμουλα Titius–Bode: d = 0.4 + 0.3·2ⁿ
✓ Ισχύει σχεδόν για όλους τους πλανήτες (εξαίρεση: Ποσειδώνας & Πλούτωνας).

The Titius–Bode Law: A Mathematical Pattern in Planetary Orbits

From the sequence: $$0,3,6,12,24,48,96,192,384,\ldots$$ Adding 4 and dividing by 10 leads to: $$0.4,\ 0.7,\ 1.0,\ 1.6,\ 2.8,\ 5.2,\ 10.0,\ 19.6,\ 38.8,\ldots$$ which approximate planetary distances from the Sun in AU. Formula: $$d = 0.4 + 0.3\cdot2^n,\quad n = 0,1,2,4,8,\ldots$$ The rule predicts nearly all planetary orbits, including the asteroid belt.

SUMMARY
✓ Empirical but strikingly accurate orbital spacing
✓ Pattern emerges from a simple integer sequence
✓ Failed only for Neptune & Pluto