Pascal Triangle, Newton Binomial and Sierpinski Triangle — Algebra Meets Fractals

hhhhhhhhh

Το Τρίγωνο του Pascal, ο Newton και το φράκταλ του Sierpiński

Το γνωστό «Τρίγωνο του Pascal» εμφανίζεται σε σχολικά βιβλία σαν ένας απλός πίνακας αριθμών. Όμως πίσω του κρύβονται τρεις μεγάλες ιδέες: συνδυασμοί, δυωνυμικό θεώρημα και φράκταλ γεωμετρία.

1. Πώς χτίζεται το τρίγωνο

• Στην κορυφή γράφουμε 1.
• Κάθε επόμενη γραμμή ξεκινά και τελειώνει με 1.
• Κάθε εσωτερικός αριθμός είναι το άθροισμα των δύο «πάνω» αριθμών.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…

Ο αριθμός στην $n$-οστή γραμμή και $k$-στή θέση συμβολίζεται $$\binom{n}{k}$$ και μετρά πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε $k$ στοιχεία από ένα σύνολο $n$ στοιχείων.

2. Το Δυωνυμικό Θεώρημα του Newton

Οι ίδιοι αυτοί αριθμοί εμφανίζονται στην ανάπτυξη του $(a+b)^n$:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}.$$

Για παράδειγμα, για $n=4$:

$$(a+b)^4 = 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4.$$

Οι συντελεστές (1, 4, 6, 4, 1) είναι ακριβώς η 4η γραμμή του τριγώνου του Pascal. Γι’ αυτό το τρίγωνο ονομάζεται συχνά και τρίγωνο Newton–Pascal.

3. Από την αριθμητική στο φράκταλ του Sierpiński

Αν χρωματίσουμε στο τρίγωνο του Pascal:

• με ένα χρώμα τους περιττούς αριθμούς,
• και με άλλο χρώμα τους ζυγούς,

τότε, καθώς κατεβαίνουμε πολλές γραμμές, το σχήμα που εμφανίζεται είναι το γνωστό τρίγωνο του Sierpiński — ένα κλασικό αυτοόμοιο φράκταλ.

Από μια απλή πρόσθεση αριθμών προκύπτει ένα σχήμα με άπειρη συμμετρία.

Η εξήγηση κρύβεται στην αριθμητική modulo 2: $$\binom{n}{k} \equiv 0 \ \text{ή}\ 1 \pmod 2,$$ και στο πώς γράφεται ο $n$ και ο $k$ στο δυαδικό σύστημα.

4. Μικρά “contest” ερωτήματα

1. Βρες τον συντελεστή του $x^5y^3$ στην ανάπτυξη του $(x+y)^8$.
2. Δείξε ότι το άθροισμα των αριθμών στην $n$-οστή γραμμή είναι $2^n$.
3. Πόσοι περιττοί αριθμοί υπάρχουν στη γραμμή με δείκτη $n=2^k$;

ΣΥΝΟΨΗ
✓ Το τρίγωνο του Pascal περιέχει τους συνδυασμούς $\binom{n}{k}$.
✓ Ο Newton χρησιμοποιεί τους ίδιους αριθμούς στο δυωνυμικό θεώρημα $(a+b)^n$.
✓ Με χρωματισμό modulo 2, το τρίγωνο μετατρέπεται στο φράκταλ του Sierpiński.
✓ Αριθμητική, άλγεβρα και γεωμετρία συναντιούνται σε ένα και μόνο σχήμα.

Pascal’s Triangle, Newton’s Binomial and the Sierpiński Triangle

Pascal’s triangle often appears in textbooks as a simple array of numbers. Behind it, however, lie three deep ideas: combinations, the binomial theorem, and fractal geometry.

1. Building the triangle

• Write 1 at the top.
• Each new row starts and ends with 1.
• Every interior entry is the sum of the two entries above it.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…

The entry in row $n$ and position $k$ is $$\binom{n}{k},$$ counting the number of ways to choose $k$ objects out of $n$.

2. Newton’s Binomial Theorem

The same numbers appear in the expansion of $(a+b)^n$:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}.$$

For $n=4$:

$$(a+b)^4 = 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4.$$

The coefficients (1, 4, 6, 4, 1) are exactly row 4 of Pascal’s triangle, which is why the picture is sometimes called the Newton–Pascal triangle.

3. From arithmetic to the Sierpiński fractal

If we colour:

• all odd entries with one colour,
• all even entries with another,

then as we draw more rows, the pattern that appears is the Sierpiński triangle, a classic self-similar fractal.

Simple addition of integers secretly encodes a fractal with infinite symmetry.

This comes from looking at binomial coefficients modulo 2: $$\binom{n}{k} \equiv 0 \ \text{or}\ 1 \pmod 2,$$ and from how $n$ and $k$ are written in base 2.

4. Mini contest questions

1. Find the coefficient of $x^5y^3$ in $(x+y)^8$.
2. Show that the sum of entries in row $n$ is $2^n$.
3. How many odd entries are there in row $n=2^k$?

SUMMARY
✓ Pascal’s triangle encodes the binomial coefficients $\binom{n}{k}$.
✓ Newton’s binomial theorem uses these numbers in $(a+b)^n$.
✓ Mod 2 colouring reveals the Sierpiński fractal pattern.
✓ Arithmetic, algebra and geometry meet in a single diagram.