Trig Sequence Puzzle: Cosine–Sine Iteration and the First Term Above 0.99

Πότε ο Όρος Μιας Τριγωνομετρικής Ακολουθίας Ξεπερνά το 0,99;

Εκφώνηση (σε ρέοντα ελληνικά)

Δίνεται μια ακολουθία αριθμών x₁, x₂, x₃, … που ορίζεται ως εξής. Ξεκινάμε από

x₁ = 1.

Στη συνέχεια, από κάθε όρο παίρνουμε το συνημίτονο και το ημίτονό του, με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε k ≥ 1 ορίζουμε:

• x_2k = cos(x_k)
• x_2k+1 = sin(x_k)

Έτσι, οι πρώτοι όροι της ακολουθίας είναι:

x₁ = 1,
x₂ = cos(x₁) = cos(1),
x₃ = sin(x₁) = sin(1),
x₄ = cos(x₂) = cos(cos(1)),
x₅ = sin(x₂) = sin(cos(1)),
x₆ = cos(x₃) = cos(sin(1)),
x₇ = sin(x₃) = sin(sin(1)),
x₈ = cos(x₄) = cos(cos(cos(1))), …

και ούτω καθεξής, συνεχίζοντας πάντα με cos και sin του προηγούμενου όρου, σύμφωνα με τον κανόνα:

x_2k = cos(x_k),   x_2k+1 = sin(x_k).

Ερώτηση.

Να βρείτε τον μικρότερο ακέραιο n > 1 τέτοιο ώστε να ισχύει

x_n > 0,99.

Trig Sequence Puzzle: When Does a Term First Exceed 0.99?

Problem Statement (English Translation)

Consider a sequence of real numbers x₁, x₂, x₃, … defined as follows. We start with

x₁ = 1.

From each term we generate new ones by taking its cosine and sine in a specific pattern. More precisely, for every k ≥ 1 we define:

• x_2k = cos(x_k)
• x_2k+1 = sin(x_k)

The first few terms of the sequence are:

x₁ = 1,
x₂ = cos(x₁) = cos(1),
x₃ = sin(x₁) = sin(1),
x₄ = cos(x₂) = cos(cos(1)),
x₅ = sin(x₂) = sin(cos(1)),
x₆ = cos(x₃) = cos(sin(1)),
x₇ = sin(x₃) = sin(sin(1)),
x₈ = cos(x₄) = cos(cos(cos(1))), …

and so on, always continuing with cos and sin of previous terms according to the rule:

x_2k = cos(x_k),   x_2k+1 = sin(x_k).

Question.

Find the smallest integer n > 1 such that

x_n > 0.99.