Μπαχ και Κάντορ: Ένα Φράκταλ στη Cello Suite No. 3
«Είναι εύκολο να παίξεις οποιοδήποτε μουσικό όργανο: αρκεί να πατήσεις το σωστό πλήκτρο την κατάλληλη στιγμή και το όργανο θα παίξει μόνο του.»
— Johann Sebastian Bach (1685–1750)
Ο Johann Sebastian Bach είναι γνωστός για την ικανότητά του να συνδυάζει αισθητική τελειότητα με λεπτές, σχεδόν μαθηματικές δομές στη μουσική του.
Παρότι δεν συνέθετε «αλγοριθμικά» με την έννοια της σύγχρονης υπολογιστικής μουσικής, πολλά έργα του αποκαλύπτουν ιεραρχικές, αυτοομοιόμορφες δομές — χαρακτηριστικά που θυμίζουν έντονα τον κόσμο των φράκταλ.Ένα από τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα βρίσκεται στο Bourrée I της Cello Suite No. 3. Η φρασεολογία των πρώτων μέτρων εμφανίζει ένα μοτίβο κλιμάκωσης που υπακούει σε νόμο δύναμης (power law). Η δομή αυτή έχει αναλυθεί σε έρευνες και μπορεί να ιδωθεί από φρακταλική σκοπιά.
1. Φράσεις στη μουσική και φράσεις στη γλώσσα
Όπως στη γλώσσα, όπου ομάδες λέξεων σχηματίζουν φυσικές μονάδες νοήματος, έτσι και στη μουσική οι νότες οργανώνονται σε φράσεις. Στο συγκεκριμένο Bourrée, η ανάλυση δείχνει ένα βασικό μοτίβο:
A, A, B
Τα δύο πρώτα A είναι σχετικά «σύντομες» φράσεις, ενώ το B είναι περίπου διπλάσιας διάρκειας. Αυτή η αναλογία είναι το πρώτο σημάδι ιεραρχίας: μικρές μουσικές μονάδες «συγκροτούν» μεγαλύτερες.
Ο Μπαχ δεν γράφει απλώς μελωδίες· χτίζει δομές.
2. Η ιεραρχική κατασκευή — ένα φρακταλικό μοτίβο
Αν εξετάσουμε τα πρώτα 16 μέτρα, παρατηρούμε ότι:
- Κάθε φράση A μπορεί να διασπαστεί σε δύο μικρότερες υπομονάδες, που θα συμβολίσουμε με a1, a2.
- Η φράση B περιέχει ουσιαστικά το ίδιο μοτίβο, αλλά σε μεγαλύτερη κλίμακα.
A = a1 + a2, B = a1 + a2 + a1 + a2
Η σχέση αυτή οδηγεί σε κλιμάκωση τύπου power law:
Ln+1 ≈ 2 Ln
όπου Ln είναι η «διάρκεια» ή «μέγεθος» της φράσης στο n-οστό επίπεδο. Η διάρκεια των φράσεων αυξάνεται κατά συντελεστή περίπου 2 από επίπεδο σε επίπεδο.
Αυτό θυμίζει το σύνολο Cantor:
- Στο Cantor set, τμήματα επαναλαμβάνονται σε διαφορετικές κλίμακες με έναν σταθερό κανόνα.
- Στο Bourrée, μουσικές ιδέες επαναλαμβάνονται, αναδιατάσσονται και κλιμακώνονται.
Δεν είναι τυχαίο: η ανθρώπινη αντίληψη της μουσικής φαίνεται να «αγαπά» τέτοιες συμμετρίες και ιεραρχίες.
3. Πώς μετριέται ένα φράκταλ στη μουσική;
Για να μιλήσουμε σοβαρά για φράκταλ, πρέπει να μετρήσουμε. Στη μουσική περίπτωση, μπορούμε να καταγράψουμε τα μήκη των φράσεων:
L1, L2, L3, …
και να εξετάσουμε αν ισχύει κάποια σχέση της μορφής:
Ln+1 ∝ Lnα
Στην περίπτωση του Bach, η ανάλυση φράσεων στο Bourrée δείχνει ότι, σε πρώτο περίπου επίπεδο προσέγγισης:
Ln+1 ≈ 2 Ln
δηλαδή μια σχεδόν τέλεια εκθετική κλιμάκωση. Σε φρακταλικούς όρους, μια τέτοια συμπεριφορά σχετίζεται με μια «διάσταση» D που δίνεται από σχέση της μορφής:
D = log 2 / log r
όπου r είναι ο συντελεστής κλιμάκωσης. Αν και εδώ δεν έχουμε γεωμετρικό αντικείμενο στον χώρο, η ιδέα της κλιμάκωσης εφαρμόζεται στον χρόνο και στις μουσικές φράσεις.
4. Μπαχ και Κάντορ: δύο κόσμοι που συναντιούνται
Ο Μπαχ προηγείται του Georg Cantor περίπου κατά έναν αιώνα. Ωστόσο, η μουσική του αναδεικνύει στοιχεία που αργότερα θα γίνουν κεντρικά στη θεωρία των φράκταλ:
- επανάληψη,
- συμμετρία,
- κλιμάκωση,
- αυτοομοιότητα.
Είναι σαν ο Bach να είχε διαισθητικά συλλάβει την ομορφιά μιας δομής που τα μαθηματικά θα «βαφτίσουν» και θα μελετήσουν πολύ αργότερα.
5. Το ουσιαστικό μήνυμα
Η Cello Suite No. 3 δεν είναι μόνο μουσική. Είναι μια γεωμετρία στον χρόνο.
Αποκαλύπτει ότι η τέχνη και τα μαθηματικά δεν είναι δύο ξεχωριστοί κόσμοι· είναι δύο γλώσσες που περιγράφουν τις ίδιες βαθιές δομές.
Και ο Bach — ίσως περισσότερο από κάθε άλλον συνθέτη — φαίνεται να «άκουγε» αυτές τις δομές πολύ πριν αρχίσουμε εμείς να τις βλέπουμε με τα μαθηματικά.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου