🟣 Voronoi Διαγράμματα & Παραβολοειδή: Μια Γεωμετρική Γέφυρα ανάμεσα σε 2D και 3D

 Στο παρακάτω βίντεο παρουσιάζεται μια πανέμορφη γεωμετρική ιδέα:

Το Voronoi διάγραμμα στο επίπεδο μπορεί να παραχθεί προβάλλοντας κατακόρυφα το κατώτερο περίβλημα (lower envelope) ενός συνόλου από 3D γραφήματα συναρτήσεων απόστασης.

Με άλλα λόγια:
Για κάθε σημείο $x_i$ στο επίπεδο, εξετάζουμε τη συνάρτηση:

$$y_i(x) = D(x, x_i)$$

δηλαδή το πόσο μακριά βρίσκεται ένα τυχαίο σημείο $x$ από το σημείο $x_i$.

🔹 Τι συμβαίνει όταν η απόσταση είναι η συνηθισμένη Ευκλείδεια απόσταση;

Αν επιλέξουμε:

$$D(x, x') = \|x - x'\|^2,$$

τότε οι συναρτήσεις $y_i(x)$ δεν είναι απλά επιφάνειες — είναι παραβολοειδή (paraboloids) στον 3D χώρο.

🔹 Και πώς βγαίνει το Voronoi;

• Παίρνουμε όλα αυτά τα παραβολοειδή.

• Τα στοιβάζουμε στο 3D.

• Κοιτάμε από πάνω ποια επιφάνεια βρίσκεται πιο χαμηλά σε κάθε σημείο.

Αυτή η "χαμηλότερη" επιφάνεια — το lower envelope — όταν προβληθεί πίσω στο 2D επίπεδο, δημιουργεί το Voronoi διάγραμμα.

✅ Κομβικό συμπέρασμα:

• Οι γραμμές ορίου ανάμεσα στα Voronoi κελιά εμφανίζονται εκεί όπου δύο παραβολοειδή τέμνονται.

• Αυτές οι τομές είναι επίπεδες → γι’ αυτό τα Voronoi κελιά στο 2D έχουν ευθύγραμμα όρια.

---

🎨 Γιατί είναι τόσο όμορφο αυτό;

Δείχνει τη βαθιά ενότητα της Γεωμετρίας:

2D (Βλέπουμε)	3D (Συμβαίνει)
Ευθείες	Τομές παραβολοειδών
Voronoi κελιά	Lower envelope επιφανειών
Απόσταση σημείων	Καμπύλες επιφάνειες απόστασης

Το "απλό" διάγραμμα Voronoi που βλέπουμε στο χαρτί είναι στην πραγματικότητα σκιά μιας πιο πλούσιας γεωμετρικής ιστορίας.