«Δείξε ότι» vs «Απόδειξε ότι»: τι ζητάει πραγματικά η άσκηση;

1) Η βασική ιδέα

«Δείξε ότι» συνήθως σημαίνει να επιδείξεις με βήματα ότι μια πρόταση ισχύει, αξιοποιώντας γνωστές ιδιότητες/θεωρήματα και υπολογισμούς.

«Απόδειξε ότι» ζητάει αυστηρή λογική απόδειξη: καθαρή αλυσίδα συλλογισμών από ορισμούς, αξιώματα και τεκμηριωμένα θεωρήματα.

2) Πότε χρησιμοποιείται τι;

• «Δείξε ότι»: πιο πρακτικό, καθοδηγούμενο, συχνά σε σχολικές ασκήσεις/ενδιάμεσα βήματα.
• «Απόδειξε ότι»: πιο θεωρητικό, απαιτεί πλήρη τεκμηρίωση, συνηθισμένο σε διαγωνίσματα/πανεπιστημιακά μαθήματα.

3) Σύγκριση με μια ματιά

Χαρακτηριστικό	«Δείξε ότι»	«Απόδειξε ότι»
Βαθμός δυσκολίας	Συνήθως πιο εύκολο	Συνήθως πιο απαιτητικό
Τυπικότητα	Μέτρια (επιδεικτική επαλήθευση)	Υψηλή (αυστηρή λογική δομή)
Συνήθεις μέθοδοι	Υπολογισμοί, ιδιότητες, γνωστά θεωρήματα	Αντίφαση, Επαγωγή, Άμεση/Έμμεση απόδειξη
Παιδαγωγικός στόχος	Κατανόηση και εφαρμογή ιδεών	Δόμηση αυστηρού συλλογισμού

4) Παράδειγμα πλήρους απόδειξης: ο άρρητος χαρακτήρας του √2

Ισχυρισμός: Ο αριθμός √2 είναι άρρητος αριθμός.

Απόδειξη με αντίφαση. Έστω ότι √2 είναι ρητός. Τότε υπάρχει κλάσμα σε απλή μορφή p/q με ακέραιους p, q (χωρίς κοινό διαιρέτη) τέτοιο ώστε √2 = p/q. Άρα 2 = p²/q² και επομένως p² = 2q².

Άρα το p² είναι άρτιος ⇒ το p είναι άρτιος. Γράφουμε p = 2k. Τότε p² = (2k)² = 4k². Από την p² = 2q² παίρνουμε 4k² = 2q² ⇒ 2k² = q². Έτσι και το q² είναι άρτιος ⇒ το q είναι άρτιος.

Καταλήγουμε ότι p και q είναι και οι δύο άρτιοι, άρα έχουν κοινό διαιρέτη το 2 — αντίφαση με την υπόθεση ότι το p/q ήταν σε απλή μορφή.

Συμπέρασμα: Ο √2 δεν είναι ρητός, άρα είναι άρρητος.

Συμπέρασμα:

• «Δείξε ότι» = Παρουσίασε πώς προκύπτει (πιο πρακτικό).
• «Απόδειξε ότι» = Δείξε ότι είναι αναγκαία αλήθεια (πιο θεωρητικό).

Στην πράξη, πολλοί καθηγητές τα χρησιμοποιούν εναλλακτικά, αλλά σε πανεπιστημιακό επίπεδο ή διαγωνίσματα, η διαφορά γίνεται πιο εμφανής.Συμβουλή: Αν δεις «απόδειξε ότι», γράψε σαφή, δομημένη απόδειξη. Αν δεις «δείξε ότι», αρκεί σαφής επαλήθευση με βήματα.