Why a Radius Is Perpendicular to a Tangent: GeoGebra + AI Explanation

Η Ακτίνα και η Εφαπτόμενη: Γιατί Σχηματίζουν Ορθή Γωνία; (AI + GeoGebra)

Το θεώρημα ότι η **ακτίνα είναι κάθετη στην εφαπτόμενη** στο σημείο επαφής είναι μια από τις πιο θεμελιώδεις ιδέες της Γεωμετρίας. Με τη βοήθεια της AI και του GeoGebra, μπορούμε να το δούμε **οπτικά, δυναμικά και απολύτως καθαρά**.

Η AI συμβάλλει στη διδασκαλία:

• επισημαίνοντας το κρίσιμο σημείο στο σχήμα,
• δημιουργώντας δυναμικές οπτικοποιήσεις,
• δίνοντας εξηγήσεις ανάλογες του επιπέδου του μαθητή.

Γιατί η γωνία είναι 90°;

Έστω ένας κύκλος με κέντρο A και ένα σημείο εφαπτομένης T. Η εφαπτόμενη είναι η μοναδική ευθεία που “αγγίζει” τον κύκλο μόνο σε ένα σημείο. Αν υπήρχε άλλη ευθεία που να περνά από το ίδιο σημείο χωρίς να τέμνει τον κύκλο, τότε η ακτίνα δεν θα ήταν η μικρότερη απόσταση —άτοπο.

Άρα η ακτίνα AT έχει τη μικρότερη δυνατή απόσταση και συνεπώς είναι **κάθετη** στην εφαπτόμενη.

Δυναμική Οπτικοποίηση στο GeoGebra

Χρησιμοποίησε το παρακάτω έτοιμο σενάριο:

A = (0, 0)
B = (4, 0)
c = Circle(A, B)
T = Point(c)
Segment(A, T)
t = Tangent(T, c)
Angle(A, T, t)

Μετακίνησε το σημείο T πάνω στον κύκλο και θα διαπιστώσεις ότι η γωνία παραμένει **πάντα 90°**, ανεξάρτητα από τη θέση.

Γιατί είναι σημαντικό το θεώρημα;

• Είναι βάση για τη γεωμετρία κύκλου.
• Χρησιμοποιείται σε προβλήματα διαγωνισμών.
• Οδηγεί σε θεωρήματα για εφαπτομένες και ίσες γωνίες.
• Αποτελεί θεμέλιο για την τριγωνομετρία και την ανάλυση.

Το EisatoponAI παρουσιάζει τέτοια σενάρια με τρόπο **απλό, καθαρό και οπτικό**, ιδανικά για μαθητές και εκπαιδευτικούς.

The Radius and the Tangent: Why Do They Form a Right Angle? (AI + GeoGebra)

The theorem stating that the **radius is perpendicular to the tangent** at the point of contact is one of the most fundamental facts in Geometry. With AI and GeoGebra, we can visualize it **clearly, dynamically, and intuitively**.

AI helps in teaching this idea by:

• highlighting the crucial point on the diagram,
• generating dynamic visual explanations,
• adjusting explanations to the learner’s level.

Why is the angle 90°?

Let a circle have center A and let T be the point of tangency. The tangent is the unique line that touches the circle at exactly one point. If another line could pass through T without crossing the circle, the radius would not be the shortest distance — a contradiction.

Therefore, the radius AT is perpendicular to the tangent.

Dynamic GeoGebra Visualization

A = (0, 0)
B = (4, 0)
c = Circle(A, B)
T = Point(c)
Segment(A, T)
t = Tangent(T, c)
Angle(A, T, t)

Move point T along the circle and observe that the angle is **always 90°**, regardless of position.

Why is this theorem important?

• It is the basis of circle geometry.
• It appears in many competition problems.
• It leads to tangent–chord angle theorems.
• It underlies trigonometry and advanced geometry.

EisatoponAI presents such scenarios with clarity, visual intuition, and structure — ideal for both students and educators.