A Recursive Geometry Puzzle with Squares and Triangles

Ένα γεωμετρικό «δέντρο» που μεγαλώνει με τρίγωνα και τετράγωνα

Ένα φανταστικό είδος δέντρου μεγαλώνει με έναν ασυνήθιστο γεωμετρικό τρόπο. Η ανάπτυξή του ακολουθεί έναν επαναληπτικό κανόνα που συνδυάζει τετράγωνα και ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα.

Συγκεκριμένα:

• 1ο έτος: Το δέντρο αποκτά έναν κορμό που είναι τετράγωνο πλευράς 4 ποδιών.
• 2ο έτος: Στην κορυφή του κορμού προστίθεται ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο, ενώ στα δύο σκέλη του τριγώνου αναπτύσσονται δύο νέα τετράγωνα.
• 3ο έτος: Σε κάθε «ελεύθερη» ακμή της κατασκευής αναπτύσσονται ξανά ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο και δύο τετράγωνα.

Το σχήμα δείχνει το δέντρο μετά από τρία έτη, με διαφορετικά χρώματα να υποδεικνύουν την ανάπτυξη κάθε έτους.

Η διαδικασία συνεχίζεται και κατά το 4ο έτος.

Ερώτημα: Ποιο είναι το συνολικό ύψος και ποιο το συνολικό πλάτος του δέντρου μετά από 4 έτη;

A Geometric “Tree” Growing with Squares and Triangles

A fictitious species of tree grows in an unusual geometric way. Its growth follows a recursive rule involving squares and right isosceles triangles.

More precisely:

• Year 1: The tree grows a trunk that is a square of side length 4 feet.
• Year 2: A right isosceles triangle grows attached to the top of the trunk, and two squares grow on the legs of the triangle.
• Year 3: At each exposed edge, another right isosceles triangle and two squares are added.

The figure shows the tree after three years, with different colors indicating the growth in each year.

The process continues for a fourth year.

Question: What are the total height and total width of the tree after 4 years?

Hint: Use graph paper to sketch the tree step by step.