Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f(f(x)) = −2;
Δίνεται το γράφημα μιας συνάρτησης f.
Όπως φαίνεται από το σχήμα:
- η συνάρτηση f είναι άρτια,
- η ολική ελάχιστη τιμή της είναι −2.
Να βρεθεί ο αριθμός των λύσεων της εξίσωσης
f(f(x)) = −2
Υπόδειξη: Δεν χρειάζεται να βρεθεί τύπος για τη συνάρτηση f,
ούτε οι ακριβείς τιμές των λύσεων.
Λύση
Θέλουμε f(f(x)) = −2.
Επειδή το −2 είναι η ολική ελάχιστη τιμή της f,
αυτή η τιμή λαμβάνεται μόνο στα σημεία ελαχίστου.
Από το γράφημα προκύπτει ότι:
f(1) = −2 και f(−1) = −2
Άρα:
f(f(x)) = −2 ⟺ f(x) ∈ {−1, 1}
Μετράμε τώρα από το γράφημα:
- η εξίσωση f(x) = −1 έχει 4 λύσεις,
- η εξίσωση f(x) = 1 έχει 2 λύσεις.
Συνολικά: 4 + 2 = 6 λύσεις.
How many solutions does the equation f(f(x)) = −2 have?
The graph of a function f is shown.
As suggested by the graph:
- f is an even function,
- the global minimum value of f is −2.
Determine the number of solutions of the equation
f(f(x)) = −2
Hint: You do not need to find a formula for f,
nor the exact values of the solutions.
Solution
We want f(f(x)) = −2.
Since −2 is the global minimum of f,
this value is achieved only at the minimum points.
From the graph we see that:
f(1) = −2 and f(−1) = −2
Therefore:
f(f(x)) = −2 ⟺ f(x) ∈ {−1, 1}
Counting from the graph:
- f(x) = −1 has 4 solutions,
- f(x) = 1 has 2 solutions.
Total: 4 + 2 = 6 solutions.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου