A Simple Proof of a 400-Year-Old Theorem about Numbers

Μια απλή απόδειξη ενός κλασικού θεωρήματος αριθμών

Στη θεωρία αριθμών εμφανίζονται συχνά αποτελέσματα που έχουν απλή διατύπωση αλλά βαθιά σημασία. Ένα από τα πιο χαρακτηριστικά είναι το Μικρό Θεώρημα του Fermat.

Διατύπωση του θεωρήματος

Αν p είναι πρώτος αριθμός και a οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε:

a^p − a διαιρείται από το p

Ισοδύναμα, στη γλώσσα της αριθμητικής modulo:

a^p ≡ a (mod p)

Ένα απλό παράδειγμα

Ας πάρουμε a = 4 και p = 3. Τότε:

4³ − 4 = 64 − 4 = 60

Ο αριθμός 60 διαιρείται από το 3, όπως προβλέπει το θεώρημα.

Η βασική ιδέα της απόδειξης

Η απλή απόδειξη βασίζεται στην παρατήρηση ότι, αν p είναι πρώτος, τότε οι αριθμοί

1, 2, 3, …, p − 1

είναι όλοι αντιστρέψιμοι modulo p. Δηλαδή, κανένας τους δεν είναι πολλαπλάσιο του p.

Πολλαπλασιασμός modulo p

Ας πολλαπλασιάσουμε κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς με το a:

a·1, a·2, a·3, …, a·(p − 1)

Αν το a δεν διαιρείται από το p, τότε αυτή η νέα λίστα είναι απλώς μια αναδιάταξη των αριθμών

1, 2, 3, …, p − 1

όταν ληφθούν modulo p.

Pierre de Fermat (1607–1665)

Το κρίσιμο βήμα

Αν πολλαπλασιάσουμε όλους τους αριθμούς της αρχικής λίστας, παίρνουμε:

1 · 2 · 3 · … · (p − 1)

Αντίστοιχα, από τη δεύτερη λίστα παίρνουμε:

a^p−1 · (1 · 2 · 3 · … · (p − 1))

Εφόσον οι δύο λίστες είναι ίδιες modulo p, τα γινόμενά τους είναι επίσης ίσα modulo p. Άρα:

a^p−1 ≡ 1 (mod p)

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με a, καταλήγουμε:

a^p ≡ a (mod p)

Τι μας δείχνει αυτή η απόδειξη

• Δεν χρειάζονται πολύπλοκα εργαλεία για βαθιά αποτελέσματα.
• Η σκέψη βασίζεται σε δομές, όχι σε υπολογισμούς.
• Η αριθμητική modulo αποκαλύπτει κρυφές συμμετρίες.

Αυτός είναι ένας χαρακτηριστικός τρόπος με τον οποίο οι μαθηματικοί μετατρέπουν ένα απλό πρόβλημα σε ένα ισχυρό γενικό αποτέλεσμα.

A simple proof of a classic number theorem

Number theory often presents results with simple statements and deep consequences. One of the most famous is Fermat’s Little Theorem.

Statement of the theorem

If p is a prime number and a any integer, then:

a^p − a is divisible by p

Equivalently, in modular arithmetic:

a^p ≡ a (mod p)

A simple example

Take a = 4 and p = 3. Then:

4³ − 4 = 64 − 4 = 60

The number 60 is divisible by 3, exactly as the theorem predicts.

The key idea of the proof

If p is prime, the numbers

1, 2, 3, …, p − 1

are all invertible modulo p. None of them is a multiple of p.

Multiplication modulo p

Multiply each of these numbers by a:

a·1, a·2, a·3, …, a·(p − 1)

If a is not divisible by p, this new list is simply a reordering of

1, 2, 3, …, p − 1

when taken modulo p.

The crucial step

Multiplying all elements of the original list gives:

1 · 2 · 3 · … · (p − 1)

From the second list we obtain:

a^p−1 · (1 · 2 · 3 · … · (p − 1))

Since the two lists are identical modulo p, their products are equal modulo p. Therefore:

a^p−1 ≡ 1 (mod p)

Multiplying both sides by a gives:

a^p ≡ a (mod p)

What this proof shows

• Powerful results can follow from simple ideas.
• Structure matters more than computation.
• Modular arithmetic reveals hidden symmetry.

This is a clear example of how mathematicians turn simple observations into deep general theorems.