Algebra Challenge with Constraint xy = 1

Μικρό Αλγεβρικό Πρόβλημα με τον περιορισμό \(xy = 1\)

Δίνονται δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί \(x, y\) που ικανοποιούν τον περιορισμό

\(xy = 1\).

Να βρείτε την ακριβή τιμή της παράστασης:

\[ \frac{1}{x^{2}+1} + \frac{1}{y^{2}+1}. \]

Προσπαθήστε πρώτα να τη χειριστείτε αλγεβρικά (χωρίς αριθμητική αντικατάσταση) και να παρατηρήσετε αν το αποτέλεσμα εξαρτάται από τις συγκεκριμένες τιμές των \(x\) και \(y\).

Algebra Mini-Challenge with the Constraint \(xy = 1\)

Let \(x\) and \(y\) be positive real numbers satisfying

\(xy = 1\).

Find the exact value of the expression

\[ \frac{1}{x^{2}+1} + \frac{1}{y^{2}+1}. \]

Try to manipulate the expression algebraically (without plugging in specific numbers) and see whether the final value depends on the particular choice of \(x\) and \(y\).