Digit counts in 2^2025 and 5^2025

Πόσα ψηφία έχουν οι αριθμοί \(2^{2025}\) και \(5^{2025}\);

Έστω ότι \(K\) είναι το πλήθος των ψηφίων του αριθμού \(2^{2025}\) και \(N\) είναι το πλήθος των ψηφίων του αριθμού \(5^{2025}\). Να υπολογίσετε το άθροισμα \(K+N\).

Επιλογές:

• (A) 2024
• (B) 2025
• (C) 2026
• (D) 4050
• (E) Καμία από τις παραπάνω

Λύση (πάτησε για εμφάνιση)

Το πλήθος των ψηφίων ενός θετικού ακέραιου \(n\) είναι \(\big\lfloor \log_{10} n \big\rfloor + 1\).

Άρα \[ K = \Big\lfloor 2025\log_{10} 2 \Big\rfloor + 1,\quad N = \Big\lfloor 2025\log_{10} 5 \Big\rfloor + 1. \] Θέτουμε \(a = 2025\log_{10} 2\) και \(b = 2025\log_{10} 5\). Ισχύει \(\log_{10}2 + \log_{10}5 = \log_{10}10 = 1\), οπότε \(a+b = 2025\).

Γράφουμε \(a = m + \alpha\) με \(m = \lfloor a \rfloor\) και \(0<\alpha<1\) (η \(\log_{10}2\) είναι άρρητη, άρα \(\alpha\neq 0\)). Τότε \[ b = 2025 - a = 2025 - (m+\alpha) = (2024 - m) + (1-\alpha), \] όπου \(0<1-\alpha<1\), άρα \(\lfloor b \rfloor = 2024 - m\).

Έτσι: \[ K+N = \big(\lfloor a \rfloor + 1\big) + \big(\lfloor b \rfloor + 1\big) = \big(m+1\big) + \big(2024 - m + 1\big) = 2026. \] Επομένως το σωστό αποτέλεσμα είναι \(K+N = 2026\), δηλαδή η επιλογή (C).

Digit Counts of \(2^{2025}\) and \(5^{2025}\)

Let \(K\) be the number of digits of the integer \(2^{2025}\), and let \(N\) be the number of digits of the integer \(5^{2025}\). Compute the sum \(K+N\).

Options:

• (A) 2024
• (B) 2025
• (C) 2026
• (D) 4050
• (E) None of these

Solution (click to reveal)

The number of digits of a positive integer \(n\) is \(\big\lfloor \log_{10} n \big\rfloor + 1\).

Hence \[ K = \Big\lfloor 2025\log_{10} 2 \Big\rfloor + 1,\quad N = \Big\lfloor 2025\log_{10} 5 \Big\rfloor + 1. \] Put \(a = 2025\log_{10} 2\) and \(b = 2025\log_{10} 5\). Since \(\log_{10}2 + \log_{10}5 = \log_{10}10 = 1\), we have \(a + b = 2025\).

Write \(a = m + \alpha\) with \(m = \lfloor a \rfloor\) and \(0<\alpha<1\) (because \(\log_{10}2\) is irrational, so \(\alpha \ne 0\)). Then \[ b = 2025 - a = 2025 - (m+\alpha) = (2024 - m) + (1-\alpha), \] and since \(0<1-\alpha<1\), we get \(\lfloor b \rfloor = 2024 - m\).

Therefore \[ K+N = \big(\lfloor a \rfloor + 1\big) + \big(\lfloor b \rfloor + 1\big) = (m+1) + (2024 - m + 1) = 2026. \] Thus \(K+N = 2026\), corresponding to option (C).