Beam balance puzzle – base 2 versus base 3 explained

Beam Balance Surprise – Δυαδικό σύστημα vs τριαδικό σύστημα

🔍 Το πρόβλημα

Έχουμε μία ζυγαριά τύπου beam balance και θέλουμε να μπορούμε να ζυγίζουμε κάθε ακέραιο βάρος από 1 έως 60 μονάδες. Σχεδιάζουμε ένα σετ από σταθμά (weights) που μπορούμε να τοποθετούμε στις δύο πλάκες.

Ερώτηση: Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός σταθμών που χρειαζόμαστε και ποιες είναι οι τιμές τους;

---

1️⃣ Η «δυαδική» λύση (μόνο στη μία πλάκα)

Αν επιτρέπεται να βάζουμε τα σταθμά μόνο στη μία πλάκα, τότε μια φυσική ιδέα είναι το δυαδικό σύστημα:

Σετ σταθμών: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Κάθε αριθμός από 1 έως 60 γράφεται ως άθροισμα αυτών των τιμών (δυαδική αναπαράσταση). Για παράδειγμα:

• \(7 = 4 + 2 + 1\)
• \(60 = 32 + 16 + 8 + 4\)

Χρειαζόμαστε λοιπόν 6 σταθμά.

---

2️⃣ Η έκπληξη: σταθμά και στις δύο πλάκες!

Αν όμως επιτρέψουμε να βάζουμε σταθμά και στις δύο πλευρές, τότε μπορούμε να κάνουμε και «αφαιρέσεις».

Παράδειγμα: με σταθμά 1 και 3 μπορούμε να ζυγίσουμε μάζα 2 βάζοντας

• στη μία πλάκα: τη μάζα 2 και το σταθμό 1,
• στην άλλη πλάκα: το σταθμό 3.

\(2 = 3 - 1\)

Με αυτή τη λογική, υπάρχει εντυπωσιακό σετ:

Σταθμά: 1, 3, 9, 27, 81

Μόνο 5 σταθμά αρκούν για να ζυγίσουμε κάθε ακέραιο από 1 έως 60! Μερικά παραδείγματα:

• \(2 = 3 - 1\)
• \(5 = 9 - 3 - 1\)
• \(8 = 9 - 1\)
• \(60 = 81 - 27 + 9 - 3\)

---

3️⃣ Γιατί δουλεύει – ισορροπημένο τριαδικό σύστημα

Οι τιμές 1, 3, 9, 27, 81 είναι δυνάμεις του 3: \(3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4\). Η «μαγεία» είναι ότι κάθε αριθμός μέχρι το 60 μπορεί να γραφτεί σε balanced ternary:

κάθε ψηφίο είναι −1, 0 ή 1 (αντί για 0, 1, 2).

• Ψηφίο 1 → σταθμός στη ίδια πλάκα με τη μάζα,
• Ψηφίο −1 → σταθμός στην αντίθετη πλάκα (σαν «αφαίρεση»),
• Ψηφίο 0 → σταθμός δεν χρησιμοποιείται.

Για παράδειγμα, το 59 μπορεί να γραφεί ως:

\(59 = 81 - 27 + 9 - 3 - 1\)

Οπότε, με τη γλώσσα των σταθμών: βάζουμε 81 απέναντι, και 27, 9, 3, 1 μαζί με τη μάζα. Η ισορροπία της ζυγαριάς «μεταφράζει» την τριαδική αναπαράσταση!

Συμπέρασμα:
• Μόνο στη μία πλάκα → δυαδικό σύστημα → 6 σταθμά: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
• Στις δύο πλάκες → ισορροπημένο τριαδικό → 5 σταθμά: 1, 3, 9, 27, 81.

Όταν η φυσική συνάντα την αριθμητική θεωρία, η ζυγαριά γίνεται εργαλείο διδασκαλίας συστημάτων αρίθμησης!

Beam Balance Surprise – Base 2 versus Base 3

🔍 The problem

We have a classical beam balance and we want to weigh any integer mass from 1 to 60 units. We will design a set of weights that can be placed on the pans.

Question: What is the minimum number of weights needed, and what are their values?

---

1️⃣ The binary solution (weights on one pan only)

If we restrict ourselves to placing weights on only one pan (opposite to the unknown mass), then the natural idea is to use binary:

Weight set: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Every integer from 1 to 60 can be written as a sum of these powers of 2 (its binary expansion). For example:

• \(7 = 4 + 2 + 1\)
• \(60 = 32 + 16 + 8 + 4\)

So we need 6 weights.

---

2️⃣ The surprise: using both pans!

If we allow weights on both pans, then we can effectively perform “subtractions”.

Example: with weights 1 and 3 we can weigh a mass of 2 units by placing the mass 2 and the 1-unit weight on one pan and the 3-unit weight on the other:

\(2 = 3 - 1\)

With this idea, we can use the following set:

Weight set: 1, 3, 9, 27, 81

Now only 5 weights are enough to measure every integer mass from 1 to 60. Some examples:

• \(2 = 3 - 1\)
• \(5 = 9 - 3 - 1\)
• \(8 = 9 - 1\)
• \(60 = 81 - 27 + 9 - 3\)

---

3️⃣ Why it works – balanced ternary

The values 1, 3, 9, 27, 81 are powers of 3: \(3^0,3^1,3^2,3^3,3^4\). The key idea is that every integer up to 60 can be written in balanced ternary:

digits are −1, 0, or 1 instead of 0, 1, 2.

• Digit 1 → weight on the same pan as the mass,
• Digit −1 → weight on the opposite pan,
• Digit 0 → weight not used.

For instance,

\(59 = 81 - 27 + 9 - 3 - 1\)

On the balance, 81 is placed on one side, while 27, 9, 3, and 1 are placed together with the unknown mass on the other side. The balance equation is just the balanced-ternary expansion written physically!

Conclusion:
• One-pan setting → binary representation → 6 weights: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
• Two-pan setting → balanced ternary → 5 weights: 1, 3, 9, 27, 81.

A beautiful example where a simple beam balance reveals the power of number systems and representation in mathematics.