Recursive Linear Function Challenge F(x) = ax + b

Επανάληψη Γραμμικής Συνάρτησης \(F(x)=ax+b\)

Έστω η συνάρτηση \[ F(x)=ax+b, \] όπου \(a\) και \(b\) είναι πραγματικοί αριθμοί.

(i) Πρώτες επαναλήψεις

Υπολογίστε ρητά τις παραστάσεις:

• \(F(F(b))\)
• \(F(F(F(b)))\)

εκφράζοντάς τες μόνο σε όρους των \(a\) και \(b\). Τι μοτίβο παρατηρείτε στους συντελεστές;

(ii) Γενική μορφή μετά από πολλές επαναλήψεις

Έστω ότι εφαρμόζουμε την \(F\) επανειλημμένα στο \(b\). Μετά από \(n\) βήματα γράφουμε

\[ A_n = \underbrace{F(F(\cdots F}_{n\ \text{φορές}}(b)\cdots)). \]

Να εκφράσετε το \(A_n\) ως συνάρτηση των \(a\), \(b\) και \(n\).

Iterating the Linear Function \(F(x)=ax+b\)

Consider the function \[ F(x)=ax+b, \] where \(a\) and \(b\) are real numbers.

(i) First few iterations

Compute explicitly:

• \(F(F(b))\)
• \(F(F(F(b)))\)

expressing each only in terms of \(a\) and \(b\). What pattern do you notice in the coefficients?

(ii) General form after many iterations

Now iterate \(F\) repeatedly starting from \(b\). After \(n\) steps, write

\[ A_n = \underbrace{F(F(\cdots F}_{n\ \text{times}}(b)\cdots)). \]

Express \(A_n\) in terms of \(a\), \(b\), and \(n\).