Construct A (3×2) and b (3×1) So That ||Ax − b|| Equals sqrt(2(x−3)^2 + y^2 + 1)

Γραμμική Άλγεβρα – Νόρμες και πίνακες

Έστω \(\mathbf{x}\) το διάνυσμα-στήλη \(2\times 1\) που περιγράφει ένα σημείο στο επίπεδο:

\[ \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}. \]

Να βρεθούν ένας πίνακας \(A\) διαστάσεων \(3\times 2\) και ένα διάνυσμα-στήλη \(\mathbf{b}\) διαστάσεων \(3\times 1\), έτσι ώστε

\[ \lVert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\rVert=\sqrt{2(x-3)^2+y^2+1}. \]

Υπόδειξη: Η απόσταση μεταξύ των \(A\mathbf{x}\) και \(\mathbf{b}\) στον \(3\)-διάστατο χώρο είναι \(\lVert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\rVert\). Η λύση δεν είναι μοναδική· αρκεί να βρεθεί ένα ζεύγος \((A,\mathbf{b})\) που να δουλεύει.

Linear Algebra – Norms and matrices

Let \(\mathbf{x}\) be the \(2\times 1\) column vector describing a point in the plane:

\[ \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}. \]

Find a \(3\times 2\) matrix \(A\) and a \(3\times 1\) column vector \(\mathbf{b}\) such that

\[ \lVert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\rVert=\sqrt{2(x-3)^2+y^2+1}. \]

Hints: The distance between \(A\mathbf{x}\) and \(\mathbf{b}\) in \(3\)-dimensional space is \(\lVert A\mathbf{x}-\mathbf{b}\rVert\). The solution is not unique; you only need to find one pair \((A,\mathbf{b})\) that works.