Ημερήσιος μετασχηματισμός αθροίσματος ψηφίων
Το πρωί, η Σάρα βλέπει έναν θετικό ακέραιο γραμμένο στον πίνακα. Κάθε μέρα, τον σβήνει και γράφει τον αριθμό που προκύπτει αν πάρει το άθροισμα των ψηφίων του και το πολλαπλασιάσει με 2.
Για παράδειγμα, αν στον πίνακα είναι γραμμένο το 123, θα γράψει 12, αφού \(2 \cdot (1 + 2 + 3) = 12\). Αν στον πίνακα είναι γραμμένο το 3, τότε θα γράψει 6.
Αν η Σάρα βλέπει τον αριθμό 37 την ημέρα 0, ποιον αριθμό θα βλέπει την ημέρα 2025 πριν τον αντικαταστήσει;
1 σχόλιο:
Την ημέρα 2025 — πριν την αντικατάσταση — η Σάρα βλέπει τον αριθμό 8.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω f(n)=2*(Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού n). Ξεκινώντας από 37 παίρνουμε τις πρώτες επαναλήψεις:
• ημέρα 0: 37
• ημέρα 1: f(37)=2*(3+7)=2*10=20
• ημέρα 2: f(20)=2*(2+0)=2*2=4
• ημέρα 3: f(4)=2*4=8
• ημέρα 4: f(8)=2*8=16
• ημέρα 5: f(16)=2*(1+6)=2*7=14
• ημέρα 6: f(14)=2*(1+4)=2*5=10
• ημέρα 7: f(10)=2*(1+0)=2*1=2
• ημέρα 8: f(2)=2*2=4
• . . .
• . . .
Από την ημέρα 2 και μετά εμφανίζεται κύκλος μήκους 6 ημερών: 4,8,16,14,10,2,…n
που επαναλαμβάνεται.
Για την ημέρα 2025 θέλουμε f^2025(37). Για k≥2 το f^k(37) είναι το στοιχείο του κύκλου με θέση (k−2) mod 6.
Επομένως:
(k−2) mod 6=(2025-2)mod6=2023mod6=1
Άρα παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο του κύκλου, που είναι 8.
Επαλήθευση:
2023mod6=337 υπόλοιπο 1
ημέρα 2025: f(337)=2*(3+3+7)=2*13=2*(1+3)=2*4=8 ο.ε.δ.