Euler, π and i: Why These Famous Complex Expressions All Have Modulus 1

Math Fact: Γιατί |e^{iπ}| = |π^{ie}| = |i^{πe}| = 1;

Δείτε μια μικρή αλλά εντυπωσιακή ισότητα από τον κόσμο των μιγαδικών:

$$ \bigl|e^{i\pi}\bigr| \;=\; \bigl|\pi^{\,ie}\bigr| \;=\; \bigl|i^{\,\pi e}\bigr| \;=\; 1. $$

1) Το |e^{i\theta}| είναι πάντα 1

Από τον τύπο του Euler:

$$ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. $$

Άρα το μέτρο είναι:

$$ |e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1. $$

Επομένως ειδικά:

$$ |e^{i\pi}|=1. $$

2) Γιατί |a^{ib}| = 1 όταν a>0

Για θετικό πραγματικό a και πραγματικό b ισχύει:

$$ a^{ib}=e^{ib\ln a}. $$

Το ib\ln a είναι καθαρά φανταστικός αριθμός, άρα είναι της μορφής i\theta. Επομένως:

$$ |a^{ib}|=\bigl|e^{i\theta}\bigr|=1. $$

Με a=\pi και b=e παίρνουμε:

$$ |\pi^{ie}|=1. $$

3) Γιατί |i^{\pi e}| = 1

Γράφουμε:

$$ i^{\pi e}=e^{\pi e \ln i}. $$

Με τον κύριο λογάριθμο έχουμε:

$$ \ln i = i\frac{\pi}{2}. $$

Άρα:

$$ i^{\pi e}=e^{\pi e \cdot i\pi/2}=e^{i(\pi^2 e/2)}, $$

και συνεπώς:

$$ |i^{\pi e}|=|e^{i(\pi^2 e/2)}|=1. $$

Γεωμετρική εικόνα:
Όλες αυτές οι εκφράσεις είναι μιγαδικοί αριθμοί πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. Μπορεί να έχουν διαφορετικές γωνίες, αλλά ίδια απόσταση από το 0: 1.

Math Fact: Why |e^{iπ}| = |π^{ie}| = |i^{πe}| = 1

Here is a compact but striking identity from complex numbers:

$$ \bigl|e^{i\pi}\bigr| \;=\; \bigl|\pi^{\,ie}\bigr| \;=\; \bigl|i^{\,\pi e}\bigr| \;=\; 1. $$

1) |e^{i\theta}| is always 1

By Euler’s formula:

$$ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, $$

so the modulus is:

$$ |e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1. $$

In particular:

$$ |e^{i\pi}|=1. $$

2) Why |a^{ib}| = 1 when a>0

For a positive real number a and real b:

$$ a^{ib}=e^{ib\ln a}. $$

The exponent ib\ln a is purely imaginary, i.e. of the form i\theta, so:

$$ |a^{ib}|=\bigl|e^{i\theta}\bigr|=1. $$

Taking a=\pi and b=e gives:

$$ |\pi^{ie}|=1. $$

3) Why |i^{\pi e}| = 1

We write:

$$ i^{\pi e}=e^{\pi e \ln i}. $$

Using the principal logarithm:

$$ \ln i = i\frac{\pi}{2}, $$

hence:

$$ i^{\pi e}=e^{\pi e \cdot i\pi/2}=e^{i(\pi^2 e/2)}, $$

and therefore:

$$ |i^{\pi e}|=|e^{i(\pi^2 e/2)}|=1. $$

Geometric picture:
All these expressions lie on the unit circle in the complex plane. Different angles, same distance from 0: 1.