Heron’s formula and maximal area of a triangle with fixed perimeter

Τύπος του Heron και μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Δίνεται τρίγωνο με πλευρές μήκους \(a, b, c\) και εμβαδόν \(A\).

1. (i) Θεωρώντας τη γωνία \(\theta\) ανάμεσα στις πλευρές μήκους \(a\) και \(b\), ή με άλλον τρόπο, να δείξετε ότι

   \[ 16A^2 = 4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2. \]

   (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα \((\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = 1\).)

2. (ii) Να συμπεράνετε ότι

   \[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \]

   όπου \(s\) είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή \(s = \dfrac{a+b+c}{2}\).

3. (iii) Να δείξετε στη συνέχεια ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν από κάθε άλλο τρίγωνο με την ίδια περίμετρο.

Heron’s Formula and Maximum Area for Fixed Perimeter

A triangle has side lengths \(a, b, c\) and area \(A\).

1. (i) By considering the angle \(\theta\) between the sides of lengths \(a\) and \(b\), or otherwise, show that

   \[ 16A^2 = 4a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2. \]

   (You may use the identity \((\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = 1\).)

2. (ii) Hence deduce that

   \[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \]

   where \(s\) is the semiperimeter of the triangle, \(s = \dfrac{a+b+c}{2}\).

3. (iii) Hence show that an equilateral triangle has a greater area than any other triangle with the same perimeter.