Inequality with a Sum and Reciprocals of Positive Real Numbers

Ανισότητα με άθροισμα και αντίστροφους θετικών αριθμών

Έστω ότι έχουμε ένα σύνολο από m θετικούς πραγματικούς αριθμούς \(n_1, n_2, \dots, n_m\) τέτοιο ώστε το άθροισμά τους να μην υπερβαίνει μια δοσμένη ποσότητα \(S\):

\(n_1 + n_2 + \dots + n_m \leq S.\)

Ορίζουμε το άθροισμα των αντιστρόφων τους ως:

\(\displaystyle Q = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \dots + \frac{1}{n_m}.\)

Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα:

\(Q \;\geq\; 2m - S.\)

Inequality with a Sum and Reciprocals of Positive Numbers

Consider a set of m positive real numbers \(n_1, n_2, \dots, n_m\) whose total sum does not exceed a given value \(S\):

\(n_1 + n_2 + \dots + n_m \leq S.\)

Let the sum of their reciprocals be:

\(\displaystyle Q = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \dots + \frac{1}{n_m}.\)

Prove that the following inequality holds:

\(Q \;\geq\; 2m - S.\)

Hint:
First play with the sum of a single positive real number \(x\) and its reciprocal \(\dfrac{1}{x}\). What do you notice about \(x + \dfrac{1}{x}\)? Can you prove a suitable inequality and then apply it to \(n_1, \dots, n_m\)?