Three Fundamental Theorems of Vector Calculus – Can You Name Them?

@Ganeshuor

Μπορείς να αναγνωρίσεις αυτά τα 3 Θεμελιώδη Θεωρήματα;

Στην εικόνα εμφανίζονται τρία από τα πιο σημαντικά θεωρήματα του διανυσματικού λογισμού. Κάθε γραμμή είναι ένα ολοκληρωτικό θεώρημα που συνδέει ένα ολόγραμμα (γραμμικό ή επιφανειακό ολοκλήρωμα) με ένα διπλό ή τριπλό ολοκλήρωμα.

Ερώτηση: Μπορείς να ονομάσεις ποιο θεώρημα αντιστοιχεί στο 1, στο 2 και στο 3;

• 1️⃣ Θεώρημα σε επίπεδη περιοχή \(D\) με καμπύλη \(C\).
• 2️⃣ Θεώρημα που συνδέει κυκλοθετικό ολοκλήρωμα με στροβιλισμό.
• 3️⃣ Θεώρημα που συνδέει ροή πεδίου μέσα από επιφάνεια με απόκλιση σε όγκο.

Σκέψου πρώτα μόνος σου — και μετά άνοιξε τη λύση:

💡 Δες τη λύση

• 1️⃣ Θεώρημα του Green (Green’s theorem)
• 2️⃣ Θεώρημα του Stokes (Stokes’ theorem)
• 3️⃣ Θεώρημα Απόκλισης / Gauss–Ostrogradsky (Divergence theorem)

Πολύ σύντομα:

• Το θεώρημα του Green συνδέει ένα γραμμικό ολοκλήρωμα γύρω από κλειστή καμπύλη με ένα διπλό ολοκλήρωμα σε περιοχή του επιπέδου.
• Το θεώρημα του Stokes γενικεύει την ιδέα σε επιφάνειες στο χώρο, με τον στροβιλισμό \(\nabla \times \mathbf{F}\).
• Το θεώρημα Απόκλισης συνδέει τη ροή ενός πεδίου μέσα από κλειστή επιφάνεια με την απόκλιση \(\nabla \cdot \mathbf{F}\) σε ολόκληρο τον όγκο.

Can You Name These 3 Fundamental Theorems?

The picture shows three of the most important theorems in vector calculus. Each line is an integral theorem relating a line or surface integral to a double or triple integral.

Question: Can you identify which theorem is 1, which is 2, and which is 3?

• 1️⃣ A theorem on a planar region \(D\) with boundary curve \(C\).
• 2️⃣ A theorem connecting a circulation integral with the curl of a field.
• 3️⃣ A theorem connecting the flux of a field through a closed surface with its divergence in a volume.

Think about it first — then open the solution:

💡 Show the answer

• 1️⃣ Green’s Theorem
• 2️⃣ Stokes’ Theorem
• 3️⃣ Divergence Theorem (Gauss–Ostrogradsky)

Very briefly:

• Green’s theorem relates a line integral around a closed curve to a double integral over a region in the plane.
• Stokes’ theorem generalises this idea to surfaces in space, using the curl \(\nabla \times \mathbf{F}\).
• The Divergence theorem relates the flux of a vector field through a closed surface to the divergence \(\nabla \cdot \mathbf{F}\) over the volume.