Άσκηση: Διακρίνουσα και Ανισότητα Cauchy–Schwarz
Θεωρούμε το άθροισμα:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} A_k = A_1 + \dots + A_n\)
(i)
Έστω ότι \(a \neq 0\). Βρείτε μία ανισότητα, σε όρους των \(a, b, c\), η οποία ισχύει αν και μόνο αν
η τετραγωνική εξίσωση:
\(ax^2 + bx + c\)
έχει το πολύ μία ρίζα.
(ii)
Έστω \(a_1,\dots,a_n\) και \(b_1,\dots,b_n\) οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί.
Εξετάζοντας την ποσότητα:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k x + b_k)^2\)
ως τετραγωνικό πολυώνυμο ως προς \(x\), να δείξετε ότι:
\[
\left( \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right)^2 \le
\left( \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \right)
\left( \sum_{k=1}^{n} b_k^2 \right).
\]
(Δηλαδή, να αποδείξετε την ανισότητα Cauchy–Schwarz.)
Exercise: Quadratic Discriminant and the Cauchy–Schwarz Inequality
We use the summation symbol:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} A_k = A_1 + \dots + A_n\)
(i)
Given that \(a \neq 0\), find an inequality in terms of \(a, b, c\) that holds if and only if the quadratic:
\(ax^2 + bx + c\)
has at most one real root.
(ii)
Let \(a_1,\dots,a_n\) and \(b_1,\dots,b_n\) be arbitrary real numbers.
By considering:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k x + b_k)^2\)
as a quadratic expression in \(x\), show that:
\[
\left( \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right)^2 \le
\left( \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \right)
\left( \sum_{k=1}^{n} b_k^2 \right).
\]
(This is the classical Cauchy–Schwarz inequality.)
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου