Quadratic Discriminant Inequality and Cauchy-Schwarz Proof

Άσκηση: Διακρίνουσα και Ανισότητα Cauchy–Schwarz

Θεωρούμε το άθροισμα:

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} A_k = A_1 + \dots + A_n\)

(i)

Έστω ότι \(a \neq 0\). Βρείτε μία ανισότητα, σε όρους των \(a, b, c\), η οποία ισχύει αν και μόνο αν η τετραγωνική εξίσωση:

\(ax^2 + bx + c\)

έχει το πολύ μία ρίζα.

(ii)

Έστω \(a_1,\dots,a_n\) και \(b_1,\dots,b_n\) οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί. Εξετάζοντας την ποσότητα:

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k x + b_k)^2\)

ως τετραγωνικό πολυώνυμο ως προς \(x\), να δείξετε ότι:

\[ \left( \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right)^2 \le \left( \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^{n} b_k^2 \right). \]

(Δηλαδή, να αποδείξετε την ανισότητα Cauchy–Schwarz.)

Exercise: Quadratic Discriminant and the Cauchy–Schwarz Inequality

We use the summation symbol:

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} A_k = A_1 + \dots + A_n\)

(i)

Given that \(a \neq 0\), find an inequality in terms of \(a, b, c\) that holds if and only if the quadratic:

\(ax^2 + bx + c\)

has at most one real root.

(ii)

Let \(a_1,\dots,a_n\) and \(b_1,\dots,b_n\) be arbitrary real numbers. By considering:

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k x + b_k)^2\)

as a quadratic expression in \(x\), show that:

\[ \left( \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right)^2 \le \left( \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^{n} b_k^2 \right). \]

(This is the classical Cauchy–Schwarz inequality.)