A surprising complex approximation to pi

image@Srinivasa Raghava

Μια απίθανη προσέγγιση του \( \pi \) με μιγαδικούς αριθμούς

Οι μιγαδικοί αριθμοί κρύβουν μερικές πολύ παράξενες «συμπτώσεις». Μία από αυτές είναι ο παρακάτω τύπος, που δίνει μια εντυπωσιακά καλή προσέγγιση του αριθμού \( \pi \):

\[ \exp\!\left(\left( \frac{\Im\!\big(i^{\,i^{\,i^i}}\big)} {7\,\Re\!\big(i^{\,i^{\,i^i}}\big)} \right)^{\!1/4}\right) \approx 3.14159266\ldots \]

Αν χρησιμοποιήσουμε την «κύρια τιμή» (principal value) για τις δυνάμεις \( i^{i^{i^i}} \), ο αριθμός που προκύπτει συμφωνεί με το \( \pi = 3.1415926535\ldots \) στις πρώτες 8 δεκαδικές θέσεις – εξαιρετική προσέγγιση για έναν τόσο απροσδόκητο τύπο.

Τι συμβαίνει εδώ;

• Υπολογίζουμε πρώτα τον μιγαδικό αριθμό \( z = i^{\,i^{\,i^i}} \).
• Παίρνουμε το φανταστικό και το πραγματικό μέρος του: \( \Im(z) \) και \( \Re(z) \).
• Σχηματίζουμε τον λόγο \( \dfrac{\Im(z)}{7\,\Re(z)} \), υψώνουμε στην δύναμη \( 1/4 \) και μετά βάζουμε εκθετική \( \exp(\cdot) \).
• Το αποτέλεσμα βγαίνει πολύ κοντά στο \( \pi \).

Είναι ταυτότητα ή σύμπτωση;

Αυτός ο τύπος δεν είναι ακριβής ταυτότητα για το \( \pi \). Είναι μια έξυπνα κατασκευασμένη αριθμητική σύμπτωση: ο λόγος \( \frac{\Im(z)}{7\,\Re(z)} \) έχει επιλεγεί έτσι ώστε, μετά από ρίζα τετάρτου βαθμού και εκθετική, να πλησιάζει θεαματικά το \( \pi \).

Παρόλα αυτά, είναι ένα όμορφο παράδειγμα για συζήτηση γύρω από:

• τις δυνάμεις μιγαδικών αριθμών και τον μιγαδικό λογάριθμο,
• τις «πολυτιμές» συναρτήσεις (πολλές τιμές για την ίδια έκφραση),
• και το πώς μερικές φορές τα μαθηματικά μοιάζουν σχεδόν… μαγικά.

Ένα μικρό αλλά εντυπωσιακό teaser από τον κόσμο των μιγαδικών αριθμών, ιδανικό για να ξεκινήσει μια συζήτηση σε τάξη ή σε math contest corner. 🙂

A surprising approximation to \( \pi \) using complex numbers

Complex numbers often hide curious numerical coincidences. Here is a particularly striking one: a formula involving powers of \( i \) that gives an excellent approximation of \( \pi \):

\[ \exp\!\left(\left( \frac{\Im\!\big(i^{\,i^{\,i^i}}\big)} {7\,\Re\!\big(i^{\,i^{\,i^i}}\big)} \right)^{\!1/4}\right) \approx 3.14159266\ldots \]

If we take the principal value of the complex power \( i^{\,i^{\,i^i}} \), the resulting number agrees with \( \pi = 3.1415926535\ldots \) in the first 8 decimal digits – a remarkably good match for such a strange formula.

What is going on?

• First compute the complex number \( z = i^{\,i^{\,i^i}} \).
• Extract its imaginary and real parts: \( \Im(z) \) and \( \Re(z) \).
• Form the ratio \( \dfrac{\Im(z)}{7\,\Re(z)} \), raise it to the power \( 1/4 \), and then apply the exponential \( \exp(\cdot) \).
• The final value turns out to be extremely close to \( \pi \).

Identity or coincidence?

This is not a genuine closed-form formula for \( \pi \). It is a cleverly engineered numerical coincidence: the ratio \( \frac{\Im(z)}{7\,\Re(z)} \) has been tuned so that, after taking the fourth root and exponent, the result lands very near \( \pi \).

Still, it makes a beautiful example for discussing:

• complex powers and the complex logarithm,
• multi-valued functions in the complex plane,
• and how mathematics can sometimes look almost “magical”.

A neat little teaser from the world of complex numbers, perfect for classroom discussion or a math contest corner post. 🙂