Rolle's Theorem: Intuition, Simple Proof and Examples

Θεώρημα του Rolle: διαίσθηση, απλή απόδειξη και παραδείγματα

Το Θεώρημα του Rolle είναι ένα από τα πρώτα σοβαρά θεωρήματα που συναντά κανείς στον διαφορικό λογισμό. Παρά την απλή του διατύπωση, κρύβει πίσω του μια πολύ δυνατή ιδέα: αν μια «καλή» συνάρτηση ξεκινά και τελειώνει στο ίδιο ύψος, τότε κάπου ενδιάμεσα η εφαπτομένη της γίνεται οριζόντια.

Το θεώρημα αυτό δεν είναι απλώς μια τεχνική λεπτομέρεια. Αποτελεί βασικό εργαλείο για:

• την απόδειξη του Θεωρήματος Μέσης Τιμής,
• τη μελέτη ριζών πολυωνύμων,
• την κατανόηση της σχέσης ανάμεσα στην τιμή μιας συνάρτησης και στην παράγωγό της.

1. Η διαίσθηση πίσω από το Θεώρημα του Rolle

Φαντάσου ότι κινείσαι με το αυτοκίνητο από μια πόλη Α σε μια πόλη Β και ξεκινάς στις 9:00, επιστρέφοντας στο ίδιο σημείο (Α) στις 10:00. Η θέση σου ως προς τον χρόνο μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση f(t). Αρχικά και τελικά είσαι στο ίδιο σημείο: f(9:00) = f(10:00).

Τι λέει το Θεώρημα του Rolle σε αυτήν την εικόνα; Ότι κάπου ανάμεσα στις 9:00 και στις 10:00 υπήρξε τουλάχιστον μια στιγμή όπου η στιγμιαία ταχύτητά σου ήταν μηδέν: σταμάτησες έστω και για λίγο. Αυτό αντιστοιχεί σε ένα σημείο c τέτοιο ώστε f′(c) = 0.

2. Τυπική διατύπωση του Θεωρήματος του Rolle

Το Θεώρημα του Rolle αφορά μια πραγματική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [a, b]. Χρειάζονται τρεις προϋποθέσεις:

• Η f είναι συνεχής στο [a, b].
• Η f είναι παραγωγίσιμη στο (a, b).
• f(a) = f(b).

Αν ισχύουν αυτά, τότε:

Υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο c στο (a, b) τέτοιο ώστε f′(c) = 0.

3. Γεωμετρική ερμηνεία

Γράφημα μιας τέτοιας συνάρτησης ξεκινά στο σημείο (a, f(a)) και καταλήγει στο (b, f(b)), με ίδιο ύψος. Για να κινηθεί από το ένα άκρο στο άλλο, η καμπύλη συνήθως:

• ανεβαίνει και μετά κατεβαίνει, ή
• κατεβαίνει και μετά ανεβαίνει, ή
• παραμένει σταθερή (οπότε η παράγωγος είναι παντού 0).

Σε κάθε περίπτωση, θα υπάρξει κάποιο εσωτερικό σημείο όπου η καμπύλη «γυρίζει», άρα η εφαπτομένη γίνεται οριζόντια. Αυτό είναι το σημείο c με f′(c) = 0.

4. Μια απλή απόδειξη του Θεωρήματος του Rolle

Η απόδειξη βασίζεται σε μια πολύ φυσική ιδέα: αν μια συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή στο εσωτερικό, τότε στο σημείο αυτό η παράγωγος μηδενίζεται.

Βήμα 1: Επειδή η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b], ξέρουμε από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής ότι η f παίρνει κάποια μέγιστη τιμή και κάποια ελάχιστη τιμή στο [a, b]. Ας πούμε ότι το μέγιστο συμβαίνει σε κάποιο σημείο x_max και το ελάχιστο σε κάποιο x_min.

Βήμα 2: Αν όλες οι τιμές της f στο [a, b] είναι ίδιες (δηλαδή f είναι σταθερή), τότε f′(x) = 0 για κάθε x στο (a, b), οπότε το θεώρημα ισχύει «με το παραπάνω».

Βήμα 3: Αν δεν είναι όλες οι τιμές ίδιες, τότε το μέγιστο ή το ελάχιστο θα διαφέρει από τις τιμές στα άκρα. Επειδή όμως f(a) = f(b), τουλάχιστον ένα από τα σημεία x_max, x_min βρίσκεται στο εσωτερικό (a, b). Ας υποθέσουμε ότι αυτό το σημείο είναι κάποιο c ∈ (a, b).

Βήμα 4: Αν σε ένα εσωτερικό σημείο c έχουμε τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο και η f είναι παραγωγίσιμη στο c, τότε (από βασικό κριτήριο παραγώγου) έχουμε αναγκαστικά f′(c) = 0.

Συνδυάζοντας τα παραπάνω βήματα, καταλήγουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα c ∈ (a, b) με f′(c) = 0. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

5. Παραδείγματα όπου ισχύει το Θεώρημα του Rolle

Παράδειγμα 1: Πολυωνυμική συνάρτηση

Έστω f(x) = x² − 1 στο διάστημα [-1, 1].

• f(-1) = (-1)² − 1 = 0
• f(1) = 1² − 1 = 0

Η f είναι πολυώνυμο, άρα συνεχής στο [-1, 1] και παραγωγίσιμη στο (-1, 1), και f(-1) = f(1). Όλες οι προϋποθέσεις ικανοποιούνται.

Η παράγωγος είναι f′(x) = 2x. Θέτοντας 2x = 0 → x = 0. Το 0 ανήκει στο (-1, 1), άρα το Θεώρημα του Rolle μας δίνει c = 0.

Παράδειγμα 2: Τριγωνομετρική συνάρτηση

Έστω f(x) = cos(x) στο διάστημα [0, 2π].

• f(0) = cos(0) = 1
• f(2π) = cos(2π) = 1

Η cos(x) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη παντού, άρα και στο [0, 2π] και (0, 2π). Το Θεώρημα του Rolle εγγυάται ότι υπάρχει c ∈ (0, 2π) με f′(c) = 0.

Η παράγωγος είναι f′(x) = −sin(x). Θέτοντας −sin(x) = 0 → sin(x) = 0. Άρα x = 0, π, 2π. Από αυτά, μόνο το π ανήκει στο (0, 2π). Έτσι βρίσκουμε c = π.

Παράδειγμα 3: Συνάρτηση με περισσότερα από ένα τέτοια σημεία

Έστω f(x) = x³ − 3x στο διάστημα [-√3, √3]. Υπολογίζουμε:

• f(-√3) = (−√3)³ − 3(−√3) = −3√3 + 3√3 = 0
• f(√3) = (√3)³ − 3(√3) = 3√3 − 3√3 = 0

Η f είναι πολυώνυμο, άρα οι προϋποθέσεις ικανοποιούνται. Παράγωγος: f′(x) = 3x² − 3. Λύνουμε 3x² − 3 = 0 → x² = 1 → x = −1 ή x = 1.

Και τα δύο σημεία ανήκουν στο (−√3, √3). Άρα εδώ το Θεώρημα του Rolle δεν δίνει μόνο ένα σημείο c, αλλά τουλάχιστον δύο: c₁ = −1, c₂ = 1.

6. Πότε αποτυγχάνει το Θεώρημα του Rolle; Αντιπαραδείγματα

Το ενδιαφέρον είναι ότι αν παραλείψουμε έστω και μία από τις τρεις προϋποθέσεις, το συμπέρασμα μπορεί να μην ισχύει.

Α) Έλλειψη συνέχειας

Ορίστε f(x) =

• 1, αν x < 0
• 0, αν x ≥ 0

στο διάστημα [-1, 1]. Έχουμε f(-1) = 1 και f(1) = 0, οπότε δεν ισχύει καν f(a) = f(b). Αν προσαρμόσουμε τη συνάρτηση ώστε τα άκρα να είναι ίσα αλλά με «άλμα» στη μέση, μπορούμε να έχουμε f(a) = f(b) αλλά η συνάρτηση να μην είναι συνεχής. Σε τέτοιες περιπτώσεις το συμπέρασμα του Rolle μπορεί να αποτύχει.

Β) Έλλειψη παραγωγισιμότητας

Έστω f(x) = |x| στο διάστημα [-1, 1]. Έχουμε f(-1) = 1, f(1) = 1 → ίσα άκρα. Η f είναι συνεχής στο [-1, 1], αλλά στο x = 0 δεν είναι παραγωγίσιμη.

Παρόλο που «γεωμετρικά» φαίνεται να υπάρχει ένα σημείο όπου η κλίση αλλάζει, δεν μπορούμε να ορίσουμε παράγωγο εκεί, άρα το θεώρημα δεν εφαρμόζεται.

Γ) Ανισα άκρα

Αν f(a) ≠ f(b), τότε το θεώρημα δεν ισχύει ως έχει. Σε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιούμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής, που είναι γενίκευση του Rolle.

7. Σχέση με το Θεώρημα Μέσης Τιμής

Το Θεώρημα του Rolle είναι στην πραγματικότητα μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.).

Το Θ.Μ.Τ. λέει ότι αν η f είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιμη στο (a, b), τότε υπάρχει c ∈ (a, b) τέτοιο ώστε:

f′(c) = f(b) − f(a) / (b − a)

Αν τώρα έχουμε και f(a) = f(b), τότε το δεξί μέλος γίνεται 0, οπότε καταλήγουμε στο συμπέρασμα του Θεωρήματος του Rolle.

8. Μικρό quiz για το Θεώρημα του Rolle

1️⃣ Ποια από τις παρακάτω προϋποθέσεις ΔΕΝ ανήκει στο Θεώρημα του Rolle;

A. Συνέχεια της συνάρτησης στο [a, b]

B. Παραγωγισιμότητα στο (a, b)

C. Η f να είναι μονότονη στο [a, b]

2️⃣ Τι εγγυάται το Θεώρημα του Rolle;

A. Ότι η συνάρτηση είναι σταθερή

B. Ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα c με f′(c) = 0

C. Ότι η f έχει άπειρα σημεία με οριζόντια εφαπτομένη

Αν σου άρεσε αυτό το άρθρο, περισσότερες ιδέες του Διαφορικού Λογισμού σε περιμένουν κάθε μέρα στο EisatoponAI.

Rolle’s Theorem: Intuition, Simple Proof and Examples

Rolle’s Theorem is one of the first deep results that students encounter in differential calculus. Despite its simple statement, it encodes a powerful idea: if a “nice” function starts and ends at the same height, then somewhere in between its tangent line must become horizontal.

This theorem is not just a technical curiosity. It is a key tool for:

• proving the Mean Value Theorem,
• studying the roots of polynomials,
• understanding the connection between a function and its derivative.

1. The intuition behind Rolle’s Theorem

Imagine you drive from city A back to city A, starting at 9:00 and returning at 10:00. Your position as a function of time can be seen as f(t). At the beginning and at the end you are in the same place: f(9:00) = f(10:00).

What does Rolle’s Theorem say here? That somewhere between 9:00 and 10:00 there must be at least one moment when your instantaneous velocity was zero: you stopped, even briefly. This corresponds to a point c with f′(c) = 0.

2. Formal statement of Rolle’s Theorem

Let f be a real function defined on [a, b]. We require three conditions:

• Continuity on the closed interval [a, b]
• Differentiability on the open interval (a, b)
• f(a) = f(b)

If these hold, then:

There exists at least one c in (a, b) such that f′(c) = 0.

3. Geometric interpretation

The graph of f starts at (a, f(a)) and ends at (b, f(b)), at the same height. To get from one endpoint to the other, the curve typically:

• goes up and then down, or
• goes down and then up, or
• stays flat (in which case f′ is zero everywhere).

In all these scenarios there will be an interior point where the curve “turns”, and at such a point the tangent line is horizontal. That is the point c with f′(c) = 0.

4. A simple proof of Rolle’s Theorem

The proof relies on the idea that if a continuous function on a closed interval attains a maximum or minimum at an interior point, and is differentiable there, then its derivative must be zero at that point.

Step 1: Since f is continuous on [a, b], the Extreme Value Theorem guarantees that f attains a maximum and a minimum on [a, b] at some points x_max, x_min.

Step 2: If all values of f on [a, b] are equal (f is constant), then f′(x) = 0 for every x in (a, b), so the conclusion holds trivially.

Step 3: If the values are not all equal, then either the maximum or the minimum is different from the endpoint values. Since f(a) = f(b), at least one of x_max, x_min lies in the interior (a, b). Call this point c.

Step 4: If c is an interior point with a local maximum or minimum and f is differentiable at c, then necessarily f′(c) = 0.

Combining these steps, we conclude that there exists c ∈ (a, b) with f′(c) = 0, which completes the proof.

5. Examples where Rolle’s Theorem applies

Example 1: Polynomial function

Let f(x) = x² − 1 on the interval [-1, 1].

• f(-1) = 0
• f(1) = 0

The function is a polynomial, hence continuous on [-1, 1] and differentiable on (−1, 1), with equal endpoint values.

Derivative: f′(x) = 2x. Setting 2x = 0 gives x = 0, which belongs to (−1, 1). Thus c = 0 is guaranteed by Rolle’s Theorem.

Example 2: Trigonometric function

Let f(x) = cos(x) on [0, 2π].

• f(0) = 1
• f(2π) = 1

cos(x) is continuous and differentiable everywhere, so the hypotheses of Rolle’s Theorem are satisfied.

Derivative: f′(x) = −sin(x). We want f′(c) = 0 → sin(c) = 0 → c = 0, π, 2π. Only π lies in (0, 2π), so c = π is the desired point.

Example 3: More than one such point

Let f(x) = x³ − 3x on [−√3, √3].

• f(−√3) = −3√3 + 3√3 = 0
• f(√3) = 3√3 − 3√3 = 0

Again, f is a polynomial, so all hypotheses hold. Derivative: f′(x) = 3x² − 3. Solving 3x² − 3 = 0 gives x² = 1 → x = −1 or x = 1, both in (−√3, √3). So here Rolle’s Theorem ensures at least two points: c₁ = −1, c₂ = 1.

6. When Rolle’s Theorem fails: counterexamples

If we omit any of the three conditions, the conclusion may fail.

A) Lack of differentiability

Consider f(x) = |x| on [−1, 1]. We have f(−1) = 1 and f(1) = 1 → equal endpoints, and f is continuous. However, f is not differentiable at x = 0. There is no interior point where we can say f′(c) = 0 in the strict sense, so Rolle’s Theorem does not apply.

B) Unequal endpoints

If f(a) ≠ f(b), then Rolle’s Theorem cannot be used. In this more general case, we turn to the Mean Value Theorem, which tells us that somewhere in (a, b) the derivative equals the average rate of change.

7. Connection with the Mean Value Theorem

Rolle’s Theorem is essentially a special case of the Mean Value Theorem (MVT).

The MVT states that if f is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), then there exists c ∈ (a, b) such that:

f′(c) = f(b) − f(a) / (b − a)

If, in addition, f(a) = f(b), then the right-hand side is zero, and the MVT reduces exactly to Rolle’s Theorem.

8. Mini quiz on Rolle’s Theorem

1️⃣ Which of the following is NOT a hypothesis of Rolle’s Theorem?

A. Continuity on [a, b]

B. Differentiability on (a, b)

C. Monotonicity on [a, b]

2️⃣ What does Rolle’s Theorem guarantee?

A. That the function is constant

B. That there exists at least one c with f′(c) = 0

C. That there are infinitely many points with horizontal tangents

If you enjoyed this article, more ideas from Differential Calculus await you every day on EisatoponAI.