Shannon Entropy Explained: Measuring Information, Uncertainty, and Randomness

Η Εντροπία του Claude Shannon και η Ποσοτικοποίηση της Πληροφορίας

Η εντροπία του Claude Shannon αποτελεί μία από τις πιο θεμελιώδεις έννοιες της Θεωρίας Πληροφορίας. Εισήχθη το 1948 και παρέχει έναν ακριβή μαθηματικό τρόπο να μετρήσουμε την αβεβαιότητα ή το μέσο ποσό πληροφορίας που συνδέεται με τα πιθανά αποτελέσματα ενός τυχαίου φαινομένου.

Η εντροπία απαντά σε ένα βασικό ερώτημα: πόση πληροφορία περιέχει ένα μήνυμα;

Ο Μαθηματικός Ορισμός της Εντροπίας

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή \( X \), η εντροπία ορίζεται ως:

\( H(X) = - \sum_{i=1}^{n} p(x_i)\,\log_b p(x_i) \)

όπου:

• \( p(x_i) \) είναι η πιθανότητα του αποτελέσματος \( x_i \),
• η βάση \( b \) του λογαρίθμου καθορίζει τη μονάδα πληροφορίας.

Στην πράξη, η πιο συνηθισμένη επιλογή είναι η βάση 2, οπότε η εντροπία μετριέται σε bits (ή shannons).

Χαμηλή και Υψηλή Εντροπία

Η έννοια της εντροπίας συνδέεται άμεσα με την προβλεψιμότητα:

• Χαμηλή εντροπία (υψηλή βεβαιότητα): ένα αποτέλεσμα είναι ιδιαίτερα πιθανό και το σύστημα είναι προβλέψιμο.
• Υψηλή εντροπία (υψηλή αβεβαιότητα): όλα τα πιθανά αποτελέσματα είναι σχεδόν ισοπίθανα και η αβεβαιότητα είναι μέγιστη.

Για παράδειγμα, μια ρίψη τίμιου νομίσματος έχει μεγαλύτερη εντροπία από μια ρίψη «πειραγμένου» νομίσματος που σχεδόν πάντα φέρνει το ίδιο αποτέλεσμα.

Γιατί η Εντροπία Είναι Θεμελιώδης

Η εντροπία του Shannon δεν είναι απλώς ένας θεωρητικός ορισμός. Αποτελεί τον πυρήνα πολλών σύγχρονων τεχνολογιών:

• Συμπίεση δεδομένων (όριο συμπίεσης χωρίς απώλειες),
• Μηχανική Μάθηση (entropy, cross-entropy, information gain),
• Κρυπτογραφία (μέτρηση τυχαιότητας και ασφάλειας),
• Στατιστική και πιθανότητες,
• Φυσική και πολύπλοκα συστήματα.

Η εντροπία συνδέει την πιθανότητα με την πληροφορία με έναν τρόπο τόσο απλό όσο και βαθύ.

Η Κληρονομιά του Claude Shannon

Ο Claude Shannon (1916–2001) θεωρείται ο πατέρας της Θεωρίας Πληροφορίας. Με την έννοια της εντροπίας έδειξε ότι η πληροφορία μπορεί να μελετηθεί με αυστηρά μαθηματικό τρόπο, ανεξάρτητα από το νόημά της.

Η εντροπία του Shannon αποτελεί ένα από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα όπου η αφηρημένη μαθηματική σκέψη οδηγεί σε επαναστατικές τεχνολογικές εφαρμογές.

Claude Shannon’s Entropy and the Quantification of Information

Claude Shannon’s entropy is one of the most fundamental concepts in Information Theory. Introduced in 1948, it provides a precise mathematical way to measure uncertainty or the average amount of information associated with the possible outcomes of a random variable.

Entropy answers a central question: how much information does a message contain?

The Mathematical Definition of Entropy

For a discrete random variable \( X \), entropy is defined as:

\( H(X) = - \sum_{i=1}^{n} p(x_i)\,\log_b p(x_i) \)

where:

• \( p(x_i) \) is the probability of outcome \( x_i \),
• the base \( b \) of the logarithm determines the unit of information.

In practice, base 2 is most commonly used, yielding entropy measured in bits (or shannons).

Low and High Entropy

Entropy is directly linked to predictability:

• Low entropy (high certainty): one outcome is highly probable, making the system predictable.
• High entropy (high uncertainty): all possible outcomes are nearly equally likely, and uncertainty is maximal.

For example, tossing a fair coin has higher entropy than tossing a biased coin that almost always lands the same way.

Why Entropy Is Fundamental

Shannon entropy is not merely a theoretical construct. It lies at the heart of many modern technologies:

• Data compression (lossless compression limits),
• Machine learning (entropy, cross-entropy, information gain),
• Cryptography (measuring randomness and security),
• Statistics and probability,
• Physics and complex systems.

Entropy connects probability and information in a way that is both simple and profound.

The Legacy of Claude Shannon

Claude Shannon (1916–2001) is regarded as the father of Information Theory. With the concept of entropy, he showed that information can be studied mathematically, independently of its meaning.

Shannon’s entropy is a striking example of how abstract mathematical thinking leads to revolutionary technological applications.