Shifted Roots Cubic Equation – Find a + b + c

Μετατόπιση ριζών κυβικής εξίσωσης

Οι ρίζες της εξίσωσης \[ x^3 + a x^2 + b x + c = 0 \] είναι καθεμιά κατά 2 μονάδες μικρότερη από τις ρίζες της εξίσωσης \[ x^3 + x + 1 = 0. \] Να υπολογίσετε το άθροισμα \(a + b + c\).

Επιλογές:

• Α) 27
• Β) 28
• Γ) 29
• Δ) 30
• Ε) 31

Λύση (κλικ για εμφάνιση)

Έστω \(P(x) = x^3 + x + 1\) και οι ρίζες του \(r_1, r_2, r_3\). Τότε η νέα εξίσωση πρέπει να έχει ρίζες \(r_1 - 2, r_2 - 2, r_3 - 2\).

Αν θέσουμε \(x = r - 2\), τότε \(r = x + 2\) και ικανοποιεί την πρώτη εξίσωση: \[ P(x+2) = 0. \] Άρα το πολυώνυμο με ρίζες \(r_i - 2\) είναι ακριβώς το \[ Q(x) = P(x+2), \] που είναι επίσης μονικό κυβικό, άρα ταυτίζεται με \[ x^3 + a x^2 + b x + c. \]

Υπολογίζουμε: \[ P(x+2) = (x+2)^3 + (x+2) + 1 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 + x + 2 + 1 = x^3 + 6x^2 + 13x + 11. \] Επομένως \[ a = 6,\quad b = 13,\quad c = 11. \] Άρα \[ a + b + c = 6 + 13 + 11 = 30. \]

Σωστή απάντηση: Δ) 30.

Translating the Roots of a Cubic

The roots of \[ x^3 + a x^2 + b x + c = 0 \] are each two less than the roots of \[ x^3 + x + 1 = 0. \] Compute \(a + b + c\).

Choices:

• (A) 27
• (B) 28
• (C) 29
• (D) 30
• (E) 31

Solution (click to reveal)

Let \(P(x) = x^3 + x + 1\) with roots \(r_1, r_2, r_3\). The new cubic must have roots \(r_1 - 2, r_2 - 2, r_3 - 2\).

If \(x = r - 2\), then \(r = x + 2\) is a root of the original cubic, so \[ P(x+2) = 0. \] Thus the polynomial with roots \(r_i - 2\) is \[ Q(x) = P(x+2), \] which is a monic cubic and therefore equals \(x^3 + a x^2 + b x + c\).

Compute: \[ P(x+2) = (x+2)^3 + (x+2) + 1 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 + x + 2 + 1 = x^3 + 6x^2 + 13x + 11. \] Hence \[ a = 6,\quad b = 13,\quad c = 11, \] so \[ a + b + c = 6 + 13 + 11 = 30. \]

Correct answer: (D) 30.