Six Elegant Olympiad Math Problems You Should Try (Mathematical Reflections 2025)

Επιλεγμένα Προβλήματα — Mathematical Reflections, Τεύχος 6 (2025)

Πηγή: www.awesomemath.org

1. Έστω $a,b,c,d$ πραγματικοί αριθμοί με $a>\max(b,c,d)$ και οι οποίοι ικανοποιούν ότι **δεν** είναι όλες οι ρίζες του πολυωνύμου \[ (a-b)x^{3}+(b-c)x^{2}+(c-d)x+d-a=0 \] πραγματικοί. Αποδείξτε ότι \[ a+c>b+d. \]
2. Λύστε στους πραγματικούς αριθμούς: \[ 4x^{4}+8x^{3}+3x^{2}+2x=-\frac14. \]
3. Βρείτε τον ελάχιστο πρώτιο αριθμό που μπορεί να γραφεί ως \[ 2pq(q-2p)+2qr(r-2q)+2rp(p-2r)+7pqr, \] όπου $p,q,r$ είναι επίσης πρώτοι αριθμοί.
4. Έστω $a,b,c$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί με $ab+bc+ca+2abc=1$. Αποδείξτε ότι \[ a+b+c\ge\frac32. \]
5. Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Αποδείξτε ότι \[ \sqrt{2(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}+4abc\ge (a+b)(b+c)(c+a). \]
6. Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με το πολύ ένας από αυτούς μικρότερος του 1 και $a+b+c=3$. Αποδείξτε ότι \[ \frac1a+\frac1b+\frac1c\ge \frac{2025}{1+968abc}. \]

Selected Problems — Mathematical Reflections, Issue 6 (2025)

Source: www.awesomemath.org

1. Let $a,b,c,d$ be real numbers with $a>\max(b,c,d)$ such that not all solutions to the cubic equation \[ (a-b)x^{3}+(b-c)x^{2}+(c-d)x+d-a=0 \] are real. Prove that \[ a+c>b+d. \]
2. Solve in real numbers: \[ 4x^{4}+8x^{3}+3x^{2}+2x=-\frac14. \]
3. Find the least prime that can be written as \[ 2pq(q-2p)+2qr(r-2q)+2rp(p-2r)+7pqr, \] where $p,q,r$ are also primes.
4. Let $a,b,c$ be nonnegative real numbers such that $ab+bc+ca+2abc=1$. Prove that \[ a+b+c\ge\frac32. \]
5. Let $a,b,c$ be positive real numbers. Prove that \[ \sqrt{2(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}+4abc\ge (a+b)(b+c)(c+a). \]
6. Let $a,b,c$ be positive real numbers such that at most one of them is less than $1$ and $a+b+c=3$. Prove that \[ \frac1a+\frac1b+\frac1c\ge \frac{2025}{1+968abc}. \]