The Sum of Three Cubes Problem: Why a³ + b³ + c³ = 33 Was So Hard

Math Fact
A simple-looking equation that resisted mathematicians for decades.

Η εξίσωση

a³ + b³ + c³ = k

όπου a, b, c είναι ακέραιοι αριθμοί, είναι γνωστή ως το πρόβλημα του αθροίσματος τριών κύβων. Παρότι η μορφή της είναι απλή, το ερώτημα αν υπάρχει λύση για κάθε ακέραιο k αποδείχθηκε εξαιρετικά δύσκολο.

Ένας βασικός περιορισμός (mod 9)

Κάθε ακέραιος κύβος, όταν ληφθεί modulo 9, μπορεί να δώσει μόνο τις τιμές 0, 1 ή −1. Επομένως, το άθροισμα τριών κύβων δεν μπορεί ποτέ να είναι ίσον με αριθμό που είναι ±4 (mod 9).

Αυτό σημαίνει ότι για τιμές όπως 4, 5, 13, 14, 22, 23, δεν υπάρχει καμία λύση.

Γιατί το 33 είναι ξεχωριστό

Ο αριθμός 33 δεν ανήκει στην απαγορευμένη κατηγορία (±4 mod 9). Άρα, θεωρητικά, μια λύση θα μπορούσε να υπάρχει. Ωστόσο, για δεκαετίες καμία λύση δεν ήταν γνωστή.

Το 2019, μετά από εκτεταμένη υπολογιστική αναζήτηση, βρέθηκε τελικά ότι:

33 = 8866128975287528³ − 8778405442862239³ − 2736111468807040³

Η ανακάλυψη αυτή δεν είναι εντυπωσιακή λόγω της αισθητικής της, αλλά επειδή δείχνει πόσο τεράστιοι μπορεί να είναι οι αριθμοί που απαιτούνται για να υπάρξει λύση.

Τι μας διδάσκει αυτό το πρόβλημα

• Απλές εξισώσεις μπορεί να κρύβουν βαθιά μαθηματική δυσκολία.
• Η θεωρία αριθμών συχνά συνδυάζεται με βαριά υπολογιστική ισχύ.
• Η ύπαρξη λύσης δεν σημαίνει ότι η λύση είναι «μικρή» ή πρακτική.

Το πρόβλημα των τριών κύβων αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα της σύγχρονης μαθηματικής έρευνας: θεωρία, αλγόριθμοι και υπολογιστές συνεργάζονται για να απαντήσουν σε ερωτήματα που φαίνονται παιδικά απλά.

The equation

a³ + b³ + c³ = k

with a, b, c integers is known as the sum of three cubes problem. Despite its elementary appearance, determining which integers k admit solutions turned out to be remarkably challenging.

A key modular obstruction

Any integer cube modulo 9 can take only the values 0, 1, or −1. As a result, a sum of three cubes can never be congruent to ±4 modulo 9.

This immediately rules out infinitely many integers.

The mystery of 33

The number 33 does not fall into the forbidden class. For this reason, mathematicians believed a solution might exist, yet none was known for many years.

In 2019, a breakthrough computational search finally revealed:

33 = 8866128975287528³ − 8778405442862239³ − 2736111468807040³

The significance of this result lies not in elegance, but in the sheer scale of the numbers involved.

Why this matters

• Elementary-looking Diophantine equations can hide extreme complexity.
• Modern number theory often relies on large-scale computation.
• Existence of solutions does not imply simplicity.

The sum of three cubes problem beautifully illustrates how deep mathematical structure can emerge from the most basic algebraic expressions.

Did you know?
The cases k = 33 and k = 42 were solved only in 2019–2020, using months of CPU time.