03:00:00
ΘΕΜΑ Α
Α1. Αποδείξτε ότι αν μια συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο \( x_0 \), τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 7
Α2. Πότε λέμε ότι η ευθεία \( x=x_0 \) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης \( f \); Μονάδες 4
Α3. Διατυπώστε το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) του διαφορικού λογισμού και δώστε τη γεωμετρική του ερμηνεία. Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ):
1. Αν \( f'(x) > 0 \) για κάθε \( x \in (a,x_0) \cup (x_0, b) \), τότε η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα στο \( (a,b) \).
2. Κάθε κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης είναι υποχρεωτικά και σημείο τοπικού ακροτάτου.
3. Για κάθε συνεχή συνάρτηση \( f \) στο \( [a, \beta] \), αν \( f(a) \cdot f(\beta) < 0 \), τότε η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο \( (a, \beta) \).
4. Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι κοίλη σε ένα διάστημα \( \Delta \), τότε η εφαπτομένη της \( C_f \) σε κάθε σημείο του \( \Delta \) βρίσκεται "πάνω" από τη γραφική παράσταση.
5. Το \( \lim_{x \to 0^+} (x^x) = 1 \). Μονάδες 10
1. Αν \( f'(x) > 0 \) για κάθε \( x \in (a,x_0) \cup (x_0, b) \), τότε η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα στο \( (a,b) \).
2. Κάθε κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης είναι υποχρεωτικά και σημείο τοπικού ακροτάτου.
3. Για κάθε συνεχή συνάρτηση \( f \) στο \( [a, \beta] \), αν \( f(a) \cdot f(\beta) < 0 \), τότε η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο \( (a, \beta) \).
4. Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι κοίλη σε ένα διάστημα \( \Delta \), τότε η εφαπτομένη της \( C_f \) σε κάθε σημείο του \( \Delta \) βρίσκεται "πάνω" από τη γραφική παράσταση.
5. Το \( \lim_{x \to 0^+} (x^x) = 1 \). Μονάδες 10
Α1: Απόδειξη σχολικού. Α4: 1-Λ, 2-Λ, 3-Σ, 4-Σ, 5-Σ.
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \), \( x > 0 \).
Β1. Να μελετήσετε την \( f \) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 6
Β2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της \( C_f \) και το σύνολο τιμών της συνάρτησης. Μονάδες 6
Β3. Να μελετήσετε την κυρτότητα της \( f \) και να βρείτε τα σημεία καμπής. Μονάδες 6
Β4. Χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της \( f \), να συγκρίνετε τους αριθμούς \( e^\pi \) και \( \pi^e \). Μονάδες 7
Β1: \( f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2} \). Β4: \( f(e) > f(\pi) \Rightarrow \frac{1}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi} \Rightarrow \pi > e \ln \pi \Rightarrow \pi > \ln \pi^e \Rightarrow e^\pi > \pi^e \).
ΘΕΜΑ Γ
Έστω \( f \) παραγωγίσιμη στο \( (0, +\infty) \) με \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \) και \( f(1) = \frac{\pi}{4} \).
Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \( g(x) = f(x) + f(1/x) \) είναι σταθερή στο \( (0, +\infty) \) και να βρείτε την τιμή της. Μονάδες 6
Γ2. Να αποδείξετε ότι \( \frac{x}{1+x^2} < f(x) < x \) για κάθε \( x > 0 \). Μονάδες 6
Γ3. Να υπολογίσετε το όριο \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \). Μονάδες 6
Γ4. Να λύσετε στο \( \mathbb{R} \) την εξίσωση \( f(e^x) - f(1+x) = 0 \). Μονάδες 7
Γ1: \( g'(x) = 0 \). Γ4: \( f \) γνησίως αύξουσα, άρα "1-1". Η εξίσωση \( e^x = x+1 \) έχει μοναδική λύση \( x=0 \).
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση \( f(x) = e^x + x - 1 \).
Δ1. Να δείξετε ότι η \( f \) αντιστρέφεται και να υπολογίσετε την παράγωγο της \( f^{-1} \) στο σημείο \( y_0=0 \). Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι \( f(x) \ge x \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \). Πότε ισχύει η ισότητα; Μονάδες 6
Δ3. Να δείξετε ότι η εξίσωση \( f^{-1}(x) = \frac{1}{x+1} \) έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα \( (0, 1) \). Μονάδες 6
Δ4. Elite Bonus: Να υπολογίσετε το όριο \( \lim_{x \to 0} \frac{f^{-1}(x) - \sin(f^{-1}(x))}{x^3} \). Μονάδες 7
Δ4: Θέτουμε \( f^{-1}(x)=u \), οπότε \( x = f(u) \). Το όριο γίνεται \( 1/48 \).
SCAN FOR SOLUTIONS
Αυτό το διαγώνισμα αποτελεί μέρος της επίσημης σειράς προσομοιώσεων "2026 Math Marathon" και έχει σχεδιαστεί για να καλύψει πλήρως τις απαιτήσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων.
Τα θέματα δημιουργήθηκαν με τη βοήθεια Τεχνητής Νοημοσύνης για το EisatoponAI.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου