A Beautiful Fact in Right Triangles: The Angle Bisector Splits the Hypotenuse Square into Two Congruent Trapezoids

 

Ένα κομψό γεγονός: η διχοτόμος της ορθής γωνίας «κόβει» το τετράγωνο της υποτείνουσας σε δύο ίσα τραπέζια

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, αν κατασκευάσουμε το τετράγωνο πάνω στην υποτείνουσα και στη συνέχεια φέρουμε τη διχοτόμο της ορθής γωνίας, τότε συμβαίνει κάτι εντυπωσιακό:

✅ Η διχοτόμος αυτή διαιρεί το τετράγωνο της υποτείνουσας σε δύο τραπέζια που είναι ακριβώς ίσα (συγκεκριμένα, συγκεχυμένα/συγγραμμικά, δηλαδή congruent).

Τι σημαίνει «ίσα τραπέζια» εδώ;

Τα δύο σχήματα που δημιουργούνται μέσα στο τετράγωνο:

• έχουν ίσα μήκη πλευρών (αντιστοίχως),
• έχουν ίδιες γωνίες,
• και το ένα μπορεί να προκύψει από το άλλο με μεταφορά/περιστροφή/ανάκλαση.

Γιατί είναι ωραίο αυτό το αποτέλεσμα;

Επειδή συνδέει με απλό τρόπο:

• τη διχοτόμο,
• την έννοια της συμμετρίας,
• και την κλασική κατασκευή του Πυθαγόρειου θεωρήματος (τετράγωνα στις πλευρές).

Αν c είναι η υποτείνουσα, τότε το τετράγωνο έχει εμβαδό c², και η διχοτόμος το χωρίζει σε δύο ίσα κομμάτια.

📌 Ένα μικρό «κόσμημα» της Γεωμετρίας που αξίζει να διδάσκεται!

A geometric gem: the bisector of the right angle splits the hypotenuse square into two congruent trapezoids

In every right triangle, construct the square on the hypotenuse. Now draw the angle bisector of the right angle. Something surprisingly elegant happens:

✅ This bisector divides the hypotenuse square into two trapezoids that are perfectly congruent.

What does “congruent trapezoids” mean here?

The two trapezoids inside the square:

• have equal corresponding side lengths,
• have equal angles,
• and one can be obtained from the other by a rigid motion (translation/rotation/reflection).

Why is this result so elegant?

Because it links in a simple visual way:

• the angle bisector,
• the idea of symmetry,
• and the classic Pythagorean picture of squares on the sides.

If c is the hypotenuse, then the square has area c², and the bisector splits it into two equal parts.

📌 A beautiful fact that deserves a place in every geometry classroom.