A Divisibility Problem Involving Powers and Products – Is 13 Always a Factor?

Διαιρετότητα μιας συμμετρικής παράστασης με τέταρτες δυνάμεις

Έστω a, b, c, d τέσσερις οποιοιδήποτε θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Ορίζουμε τον αριθμό

Δ = abcd (a⁴ − b⁴)(a⁴ − c⁴)(a⁴ − d⁴) (b⁴ − c⁴)(b⁴ − d⁴)(c⁴ − d⁴)

Είναι ο αριθμός Δ πάντοτε διαιρετός με το 13;

Αν ναι, να δοθεί απόδειξη. Αν όχι, να δοθεί ένα αντιπαράδειγμα.

Το πρόβλημα ανήκει στη θεωρία αριθμών και εξετάζει πώς η συμμετρία και οι δυνάμεις επηρεάζουν τη διαιρετότητα ενός σύνθετου γινομένου.

Divisibility of a Symmetric Expression with Fourth Powers

Let a, b, c, d be any four positive integers.

Define the number

Δ = abcd (a⁴ − b⁴)(a⁴ − c⁴)(a⁴ − d⁴) (b⁴ − c⁴)(b⁴ − d⁴)(c⁴ − d⁴)

Is the number Δ always divisible by 13?

If it is, provide a proof. If it is not, give a counterexample.

This problem lies in number theory and explores how symmetry and higher powers influence divisibility properties of algebraic products.