Black–Scholes Equation for Students: How a Physics Heat Equation Became Wall Street Math

Η εξίσωση Black–Scholes: Όταν η Φυσική “μπήκε” στη Wall Street

Μπορεί μια εξίσωση που περιγράφει πώς απλώνεται η θερμότητα σε ένα μέταλλο, να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει πώς “απλώνεται” η αβεβαιότητα στην τιμή μιας μετοχής; Κι όμως! Αυτό ακριβώς είναι η μεγάλη ιδέα πίσω από τη Black–Scholes.

Από το 1973, η εξίσωση Black–Scholes χρησιμοποιείται για την αποτίμηση χρηματοοικονομικών προϊόντων που λέγονται options (δικαιώματα προαίρεσης). Το εντυπωσιακό είναι ότι μαθηματικά “μοιάζει” πάρα πολύ με μια γνωστή εξίσωση της Φυσικής: την εξίσωση θερμότητας (heat equation).

---

1) Τι είναι ένα option (με απλά λόγια);

Ένα option είναι ένα συμβόλαιο που σου δίνει το δικαίωμα (όχι υποχρέωση) να αγοράσεις ή να πουλήσεις μια μετοχή σε μια συγκεκριμένη τιμή μέχρι μια συγκεκριμένη ημερομηνία.

Παράδειγμα (call option):

Σου δίνουν το δικαίωμα να αγοράσεις μια μετοχή με τιμή 100€ σε έναν μήνα. Αν τότε η μετοχή κάνει 140€, εσύ κερδίζεις. Αν κάνει 80€, απλώς δεν το χρησιμοποιείς.

---

2) Το μεγάλο ερώτημα: πόσο κάνει ένα option;

Πώς βρίσκουμε “σωστή τιμή” για ένα option; Δεν είναι απλό, γιατί εξαρτάται από το μέλλον… και το μέλλον έχει αβεβαιότητα.

Το option έχει αξία επειδή η τιμή μιας μετοχής κινείται. Άρα για να το τιμολογήσεις, πρέπει να μοντελοποιήσεις αυτή την κίνηση.

Και εδώ μπαίνει η λέξη-κλειδί: Μεταβλητότητα (volatility).

Η μεταβλητότητα είναι ένα μέτρο του “πόσο νευρική” είναι η τιμή της μετοχής: πόσο γρήγορα και πόσο έντονα ανεβοκατεβαίνει.

---

3) Η εξίσωση Black–Scholes (ιδέα)

Αν συμβολίσουμε με V την αξία του option, με S την τιμή της μετοχής και με t τον χρόνο, τότε το μοντέλο οδηγεί σε μια μερική διαφορική εξίσωση:

∂V/∂t + (1/2)σ²S² ∂²V/∂S² + rS ∂V/∂S − rV = 0

Όπου:
• σ = μεταβλητότητα
• r = επιτόκιο (risk-free rate)

---

4) Η εξίσωση θερμότητας στη Φυσική

Η εξίσωση θερμότητας περιγράφει πώς εξαπλώνεται η θερμοκρασία u(x,t) πάνω σε μια ράβδο:

∂u/∂t = α ∂²u/∂x²

Όπου α είναι ο συντελεστής διάχυσης. Δηλαδή πόσο γρήγορα “ταξιδεύει” η θερμότητα.

---

5) Γιατί λέμε ότι είναι “αδερφές”;

Η βασική ομοιότητα είναι το εξής:

Και οι δύο εξισώσεις περιγράφουν ΔΙΑΧΥΣΗ.
• στη Φυσική διαχέεται η θερμότητα
• στα Χρηματοοικονομικά διαχέεται η αβεβαιότητα της τιμής

Στην Black–Scholes, ο όρος:

(1/2)σ²S² ∂²V/∂S²

παίζει ρόλο “διάχυσης”, όπως ο όρος α ∂²u/∂x² στην εξίσωση θερμότητας.

Με μια έξυπνη αλλαγή μεταβλητών (και σωστό μετασχηματισμό), η Black–Scholes μετατρέπεται σε εξίσωση θερμότητας. Έτσι, οι λύσεις της μπορούν να βρεθούν με εργαλεία που η Φυσική χρησιμοποιεί εδώ και αιώνες!

---

6) Γιατί αυτό ήταν επανάσταση;

• Έδωσε ακριβή μαθηματική φόρμουλα για την τιμή των options.
• Ένωσε δύο κόσμους: Φυσική και Οικονομία.
• Έδειξε ότι τα μαθηματικά της διάχυσης δεν αφορούν μόνο θερμότητα ή ρευστά, αλλά και αγορές.

🧠 Συμπέρασμα:
Η ίδια μαθηματική γλώσσα μπορεί να περιγράφει θερμότητα σε ένα μέταλλο και ρίσκο σε μια αγορά. Τα μαθηματικά δεν “ανήκουν” σε ένα μάθημα — είναι ένα εργαλείο που ταξιδεύει παντού.

The Black–Scholes equation: when Physics quietly entered Wall Street

Can an equation that describes how heat spreads through metal also describe how uncertainty spreads in stock prices? Surprisingly… yes! That is the key idea behind Black–Scholes.

Since 1973, the Black–Scholes equation has been used to price financial contracts called options. What makes it fascinating is that, mathematically, it strongly resembles a famous physics model: the heat diffusion equation.

---

1) What is an option (in simple terms)?

An option is a contract that gives you the right (not the obligation) to buy or sell a stock at a fixed price before a specific date.

Example (call option):

You get the right to buy a stock at €100 one month from now. If the stock becomes €140, you profit. If it becomes €80, you simply do not use the option.

---

2) The big question: what should an option cost?

How can we find a “fair price” for an option? It depends on the future… and the future contains uncertainty.

An option is valuable because stock prices move. So pricing an option requires modeling that movement.

The key word: volatility.

Volatility measures how “nervous” a stock price is: how strongly and how often it goes up and down.

---

3) The Black–Scholes equation (idea)

If V is the option value, S is the stock price, and t is time, the model leads to this partial differential equation:

∂V/∂t + (1/2)σ²S² ∂²V/∂S² + rS ∂V/∂S − rV = 0

Where:
• σ = volatility
• r = interest rate

---

4) The heat equation in physics

The heat equation describes how temperature u(x,t) spreads along a rod:

∂u/∂t = α ∂²u/∂x²

Here α is the diffusion coefficient.

---

5) Why are they “siblings”?

The core similarity is this:

Both equations describe DIFFUSION.
• in physics: diffusion of heat
• in finance: diffusion of price uncertainty

In Black–Scholes, the term:

(1/2)σ²S² ∂²V/∂S²

acts like a diffusion term, just like α ∂²u/∂x² in physics.

With a clever change of variables, the Black–Scholes equation can be transformed into a heat equation form. That is why methods from physics can solve a finance problem!

---

6) Why was this revolutionary?

• It gave a precise mathematical framework for option pricing.
• It connected two worlds: physics and economics.
• It showed that diffusion mathematics applies not only to heat, but also to markets.

🧠 Conclusion:
The same mathematical language can describe heat in metal and risk in financial markets. Mathematics does not belong to one subject — it is a universal tool.