Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης με εφαπτομένη | Πρόβλημα Ανάλυσης

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης από γράφημα

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f καθώς και η εφαπτομένη της στο σημείο x = −2. Ορίζεται νέα συνάρτηση

\( g(x) = e^x \cdot f(x) \)

και ζητείται η τιμή της παραγώγου g′(−2).

---

Πληροφορίες από το γράφημα

Από το σχήμα διαβάζουμε άμεσα:

• \( f(-2) = 3 \)
• Η εφαπτομένη περνά από τα σημεία \( (-2,3) \) και \( (0,-3) \)

Άρα η κλίση της εφαπτομένης είναι:

\( f'(-2) = \dfrac{-3 - 3}{0 - (-2)} = \dfrac{-6}{2} = -3 \)

---

Υπολογισμός της παραγώγου

Εφαρμόζουμε τον κανόνα γινομένου:

\( g'(x) = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x\bigl(f(x) + f'(x)\bigr) \)

Στο σημείο \( x = -2 \):

\( g'(-2) = e^{-2}\bigl(3 + (-3)\bigr) = e^{-2} \cdot 0 = 0 \)

---

Τελικό αποτέλεσμα

\( \boxed{g'(-2) = 0} \)

Το αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακά απλό: παρότι η συνάρτηση f και η εφαπτομένη της δεν είναι μηδενικές, η ακριβής αντιστάθμιση των όρων οδηγεί σε μηδενική παράγωγο.

📌 Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα όπου το γράφημα, η γεωμετρία και η ανάλυση συνεργάζονται ιδανικά.